Question

已知如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，D为AB的中点，E为BC上一点，且DE⊥AB，垂足为D．点F在ED的延长线上，连接BF、AF，作AF的垂直平分线交EC于点G，连接FG，请探究BF与FG之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：勾股定理

专题：

分析：连接AG，作FJ⊥AC，垂足为J，作FH⊥BC，垂足为H，得四边形CHFJ为矩形，设AC=1，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∴AB=2，由勾股定理得：BC=

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，∵DE是AB的中垂线，∴AF=BF，∵GM是AF的中垂线，∴AG=FG，设BH=x，GH=y，FH=z，在Rt△BFH中：BF²=FH²+BH²=x²+z²；在Rt△FHG中：FG²=FH²+HG²=z²+y²；在Rt△AJF中：AF²=AJ²+JF²=（

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-x）²+（1-z）²；在Rt△ACG中：AG²=AC²+CG²=1+（

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-x-y）²，由AF=BF，AG=GF，得到AF²=BF²，AG²=GF²，然后将x，y，z代换即可．

解答：答：BF=FG．
证明：连接AG，作FJ⊥AC，垂足为J，作FH⊥BC，垂足为H，得四边形CHFJ为矩形，
∴CH=JF，JC=FH．
设AC=1，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴AB=2，
由勾股定理得：BC=

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，
∵DE是AB的中垂线，
∴AF=BF，
∵GM是AF的中垂线，
∴AG=FG，
设BH=x，GH=y，FH=z，
在Rt△BFH中：BF²=FH²+BH²=x²+z²；
在Rt△FHG中：FG²=FH²+HG²=z²+y²；
在Rt△AJF中：AF²=AJ²+JF²=（

3

-x）²+（1-z）²；
在Rt△ACG中：AG²=AC²+CG²=1+（

3

-x-y）²，
∵AF=BF，AG=GF，
∴AF²=BF²，AG²=GF²，
即：x²+z²=（

3

-x）²+（1-z）²  ①，
z²+y²=1+（

3

-x-y）²  ②，
化简①得：z=2-

3

x  ③，
将③代入②得：x²-

3

x+

3

y-xy=0，
即x（x-y）-

3

（x-y）=0，
（x-y）（x-

3

）=0，
∴x=y，
∴BH=GH，
∵FH⊥BG，
∴FH是BG的中垂线，
∴BF=FG

点评：此题考查勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理列关系式．