Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，且与直线交于.

（1）求出点的坐标

（2）当时，直接写出x的取值范围.

（3）点在x轴上，当△的周长最短时，求此时点D的坐标

（4）在平面内是否存在点,使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（6，3）；（2）；（3）（0，0）；（4）（6，9）或（6，-3）或（-6，3）.

【解析】

（1）直接联立两直线解析式，即可得到点A的坐标；

（2）直接在图象上找到时，x的取值范围；

（3）过点A作交点为E即可得出点D与点O重合的时候，△的周长最短，即可得出点D的坐标；

（4）分三种情况考虑：当四边形OAQ1C为平行四边形时；当四边形OQ2AC为平行四边形时；当四边形OACQ3为平行四边形时，分别求出点Q的坐标即可.

（1）联立两直线解析式可得

解得：

点A的坐标为（6，3）

（2）由点A（6，3）及图象知，当时，

（3）

过点A作交点为E，由图可知点B关于直线AE的对称点为点O

当点D与点O重合的时候，△的周长最短

即为CO+BC=6+6

此时点D的坐标为（0，0）

（4）存在点,使以为顶点的四边形是平行四边形

如图所示，分三种情况考虑：

当四边形OAQ1C为平行四边形时,

点Q1的横坐标为6，纵坐标为点C的纵坐标+3=9

Q1的坐标为（6，9）

当四边形OQ2AC为平行四边形时,

点Q2的横坐标为6，纵坐标为点A的纵坐标-6=-3

Q2的坐标为（6，-3）

当四边形OACQ3为平行四边形时,

点Q3关于OC的对称点为点A

Q3的坐标为（-6，3）

综上点Q的坐标为：（6，9）或（6，-3）或-6，3）.