Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝，AB＝6．在底边AB上有一动点E，满足∠DEQ=120°，EQ交射线DC于点F．

(1)求下底DC的长度；
(2)当点E是AB的中点时，求线段DF的长度；
(3)请计算射线EF经过点C时，AE的长度．

Answer 1

（1）DC=7 （2）DF＝6  (3) AE=2或5

试题分析：解：（1）作点B到DC的垂线，交DC于G
在梯形ABCD中，因为∠A=90°
所以DG=AB=6
因为∠B=120°，所以∠C=60°
又因为AD=BF=
所以CG=1
所以DC="DG+GC=6+1=7"
（2）解：如图1，过E点作EG⊥DF，
∵E是AB的中点，
∴DG＝3，
∴EG＝AD＝，
∴∠DEG＝60°，
∵∠DEF＝120°，
∴tan60°＝，   
解得GF＝3，
∴DF＝6；

(3)如图2所示：
过点B作BH⊥DC，，过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，则BH＝AD＝，
∵∠ABC＝120°，AB∥CD，
∴∠BCH＝60°，
∴CH＝＝＝1，BC＝＝＝2，
设AE＝x，则BE＝6－x，
在R t △ADE中，DE＝＝＝，
在R t △EFM中，EF＝＝＝，
∵AB∥CD，
∴∠EFD＝∠BEC，
∵∠DEF＝∠B＝120°，
∴△EDF∽△BCE，
∴＝，即＝，
解得x＝2或5．
∴AE=2或5．
点评：该题主要考查学生对勾股定理和直角梯形性质的理解和应用，以及对特殊角、特殊三角形性质的运用。