【题目】已知,,为正整数,.设,,,为坐标原点.若,且.
(1)求图象经过,,三点的二次函数的解析式;
(2)点是抛物线上的一动点,直线交线段于点,若,的面积,满足,求此时点的坐标.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)由射影定理得到,即,然后代入到已知条件中得到,然后利用一元二次方程根与系数的关系求得,.利用待定系数法求二次函数解析式;
(2)由得,从而确定Q点坐标,然后利用待定系数法求得直线AQ的解析式,然后联立方程组求点D坐标.
解:(1)∵,,∴,即.
∵,
∴.
又∵
,
∴,即.
∵,,
∴,是关于的一元二次方程①的两个不相等的正整数根,
∴,解得.
又∵为正整数,故或.
当时,方程①为,没有整数解.
当时,方程①为,两根为,.
综合知:,,.
设图象经过,,三点的二次函数的解析式为,
将点的坐标代入得,解得.
∴图象经过,,三点的二次函数的解析式为.
(2)如图,直线交线段于点,由,得,
∴,,∴,∵,
设直线AQ的解析式为y=kx+b
可得解得
∴直线AQ的解析式为:,
联立,
消去整理可得,,
由韦达定理:,而,
∴,∴,
∴点坐标为:.
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【题目】如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以BC为直径作⊙O交AB于点D.
(1)求线段AD的长度;
(2)点E是线段AC上的一点,试问:当点E在什么位置时,直线ED与⊙O相切?请说明理由.
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【题目】已知抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣3(m是常数)
(1)证明:无论m取什么实数,该抛物线与x轴都有两个交点.
(2)设抛物线的顶点为A,与x轴的两个交点分别为B、D,点B在点D的右侧,与y轴的交点为 C.
①若点P为△ABD的外心,求点P的坐标(用含m的式子表示);
②当|m|≤,m≠0时,△ABC的面积是否有最大值?如果有,请求出最大值;如果没有,请说明理由.
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【题目】某商店经销A、B两种商品,现有如下信息:
信息1:A、B两种商品的进货单价之和是3元;
信息2:A商品零售单价比进货单价多1元,B商品零售单价比进货单价的2倍少1元;
信息3:按零售单价购买A商品3件和B商品2件,共付12元.
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)求A、B两种商品的零售单价;
(2)该商店平均每天卖出A商品500件和B商品1500件.经调查发现,A种商品零售单价每降0.1元,A种商品每天可多销售100件.商店决定把A商品的零售单价下降m(m>0)元,B商品的零售单价和销量都不变,在不考虑其他因素的条件下,当m为多少时,商品每天销售A、B两种商品获取的总利润为2000元?
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【题目】五张如图所示的长为,宽为的小长方形纸片,按如图的方式不重叠地放在矩形中,未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为,当的长度变化时,按照同样的放置方式,始终保持不变,则,满足的关系式为( )
A.B.C.D.
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【题目】如图:已知在△ABC中,AB=AC,点D是BC上一点,∠ADE=∠B,
(1)求证:△ABD~△DCE;
(2)点F在AD上,且=,求证:EF∥CD.
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【题目】华星商店准备从阳光机械厂购进甲、乙两种零件进行销售,若一个甲种零件的进价比一个乙种零件的进价多50元,用4000元购进甲种零件的数量是用1500元购进乙种零件的数量的2倍.
(1)求每个甲种零件,每个乙种零件的进价分别为多少元?
(2)华星商店甲种零件每件售价为260元,乙种零件每件售价为190元,商店根据市场需求.决定向该厂购进一批零件、且购进乙种零件的数量比购进甲种零件的数量的2倍还多4个,若本次购进的两种零件全部售出后,总获利不少于2400元、求该商店本次购进甲种零件至少是多少个?
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AD=AB,∠BAD的平分线交BC于点E,DH⊥AE于点H,连接BH并延长交CD于点F,连接DE交BF于点O,下列结论:①∠AED=∠CED;②OE=OD;③BH=HF;④BC﹣CF=2HE;⑤AB=HF,其中正确的有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
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【题目】在平面直角坐标系中 xOy 中,对于⊙C及⊙C内一点 P,给出如下定义:若存在过点 P 的直线 l,使得它与⊙C 相交所截得的弦长为,则称点 P 为⊙C的“k-近内点”.
(1)已知⊙O的半径为 4,
①在点中,⊙O的“4-近内点”是______________;
②点 P 在直线y=x上,若点 P 为⊙O的“4-近内点”,则点 P 的纵坐标y的取值范围是____________;
(2)⊙C的圆心为(-1,0),半径为 3,直线x 轴,y 轴分别交于 M,N,若线段 MN 上存在⊙C的 “2 -近内点”,则 b 的取值范围是____________.
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