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【题目】如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以BC为直径作⊙O交AB于点D.

(1)求线段AD的长度;

(2)点E是线段AC上的一点,试问:当点E在什么位置时,直线ED与⊙O相切?请说明理由.

【答案】(1)AD=;(2)当点E是AC的中点时,ED与⊙O相切;理由见解析.

【解析】

1)由勾股定理易求得AB的长;可连接CD,由圆周角定理知CDAB,易知△ACD∽△ABC,可得关于ACADAB的比例关系式,即可求出AD的长.(2)当ED O相切时,由切线长定理知EC=ED,则∠ECD=EDC,那么∠A和∠DEC就是等角的余角,由此可证得AE=DE,即EAC的中点.在证明时,可连接OD,证ODDE即可.

1)在RtACB中,∵AC=3cmBC=4cm,∠ACB=90°,∴AB=5cm

连接CD,∵BC为直径,

∴∠ADC=BDC=90°;

∵∠A=A,∠ADC=ACB

RtADCRtACB

,∴

2)当点EAC的中点时,ED与⊙O相切;

证明:连接OD

DERtADC的中线;

ED=EC

∴∠EDC=ECD

OC=OD

∴∠ODC=OCD

∴∠EDO=EDC+ODC=ECD+OCD=∠ACB=90°;

EDOD

ED与⊙O相切.

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