【题目】如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以BC为直径作⊙O交AB于点D.
(1)求线段AD的长度;
(2)点E是线段AC上的一点,试问:当点E在什么位置时,直线ED与⊙O相切?请说明理由.
【答案】(1)AD=;(2)当点E是AC的中点时,ED与⊙O相切;理由见解析.
【解析】
(1)由勾股定理易求得AB的长;可连接CD,由圆周角定理知CD⊥AB,易知△ACD∽△ABC,可得关于AC、AD、AB的比例关系式,即可求出AD的长.(2)当ED与 O相切时,由切线长定理知EC=ED,则∠ECD=∠EDC,那么∠A和∠DEC就是等角的余角,由此可证得AE=DE,即E是AC的中点.在证明时,可连接OD,证OD⊥DE即可.
(1)在Rt△ACB中,∵AC=3cm,BC=4cm,∠ACB=90°,∴AB=5cm;
连接CD,∵BC为直径,
∴∠ADC=∠BDC=90°;
∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,
∴Rt△ADC∽Rt△ACB;
∴,∴
;
(2)当点E是AC的中点时,ED与⊙O相切;
证明:连接OD,
∵DE是Rt△ADC的中线;
∴ED=EC,
∴∠EDC=∠ECD;
∵OC=OD,
∴∠ODC=∠OCD;
∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°;
∴ED⊥OD,
∴ED与⊙O相切.
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【题目】随着科技的进步和网络资源的丰富,在线学习已经成为更多人的自主学习选择.某校计划为学生提供以下四类在线学习方式:在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论.为了解学生需求,该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查,并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
(1)求本次调查的学生总人数,并补全条形统计图;
(2)求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数;
(3)该校共有学生3000人,请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数.
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【题目】如图,已知△ABC中,AC=2,AB=3,BC=4,点G是△ABC的重心.将△ABC平移,使得顶点A与点G重合.那么平移后的三角形与原三角形重叠部分的周长为( )
A.2B.3C.4D.4.5
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为2cm,点E、F在边AD上运动,且AE=DF.CF交BD于G,BE交AG于H.点H在圆弧上运动上,点H所运动的圆弧的长为______.
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【题目】一组正方形按如图所示的方式放置,其中顶点B1在y轴上,顶点C1,E1,E2,C2,E3,E4,C3……在x轴上,已知正方形A1B1C1D1的边长为1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3……,则正方形A2020B2020C2020D2020的边长是( )
A.()2017B.(
)2018C.(
)2019D.(
)2020
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线分别与x轴、y轴相交于点B、C,经过点B、C的抛物线
与x轴的另一个交点为A(-1,0).
(1)求这个抛物线的表达式;
(2)已知点D在抛物线上,且横坐标为2,求出△BCD的面积;
(3)点P是直线BC上方的抛物线上一动点,过点P作PQ垂直于x轴,垂足为Q.是否存在点P,使得以点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,直线y=﹣x+c与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,抛物线y=﹣
x2+bx+c经过点A,B.
(1)求点B的坐标和抛物线的解析式;
(2)M(m,0)为线段OA上一个动点,过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N.
①试用含m的代数式表示线段PN的长;
②求线段PN的最大值.
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