Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为2cm，点E、F在边AD上运动，且AE=DF．CF交BD于G，BE交AG于H．点H在圆弧上运动上，点H所运动的圆弧的长为______．

Answer 1

【答案】

【解析】

先根据全等三角形的性质证明∠AHB=90°，即点H是以AB为直径的圆上一点，再根据弧长公式求解即可得到答案．

∵ABCD是正方形
∴AD=CD=AB，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠BDC=45°
∵AD=CD，∠ADB=∠BDC，DG=DG
∴△ADG≌△DGC
∴∠DAM=∠DCF且AD=CD，∠ADC=∠ADC
∴△ADM≌△CDF
∴FD=DM且AE=DF
∴AE=DM且AB=AD，∠ADM=∠BAD=90°
∴△ABE≌△ADM(SAS)，
∴∠DAM=∠ABE，
∵∠DAM+∠BAM=90°，
∴∠BAM+∠ABE=90°，

即∠AHB=90°，
∴点H是以AB为直径的圆上一点，

以AB的中心O为圆心，以OA为半径画弧，与BD交于I，如图：

当E点运动到D的位置以及F点运动到A的位置时，是H运动的轨迹的一个端点，

此时，I刚好与H重合（恰好是正方形的中心），

∴此时的圆心角恰好是90°，

根据弧长公式得到H运动的弧长为：，

故答案为：．