Question

如图，I是△ABC中∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，若∠A=40°，试判断I点与BC为直径的⊙O的位置关系，并证明．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：常规题型

分析：根据角平分线的定义得∠IBC=

1

2

∠ABC，∠ICB=

1

2

∠ACB，则∠IBC+∠ICB=

1

2

（∠ABC+∠ACB），再根据三角形内角和定理可计算出∠IBC+∠ICB=

1

2

（180°-40°）=70°，∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=110°，由于∠BIC＞90°，根据直径所对的圆周角为直角可判断I点在以BC为直径的⊙O内．

解答：解：I点在以BC为直径的⊙O内．理由如下：
∵I是△ABC中∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
∴∠IBC=

1

2

∠ABC，∠ICB=

1

2

∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠A）=

1

2

（180°-40°）=70°，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=110°，
∵∠BIC＞90°，
∴I点在以BC为直径的⊙O内．

点评：本题考查了点与圆的位置关系：根据圆周角定理，利用点与圆的直径两端的连线段的夹角与90°的大小关系判断点与圆的位置关系．