Question

2．如图，二次函数y=ax ²+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x₁，x₂，其中-1＜x₁＜0，1＜x₂＜2．下列结论：①abc＜0；②b＜-2a；③b²+8a＞4ac；④2a+c＜0．其中正确的结论有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据对称轴在y轴的右侧，a，b异号，b＞0，判断①；根据对称轴小于1，判断②；根据顶点的纵坐标大于2判断③，根据图象经过（1，2）和当x=-1时，y＜0判断④．

解答 解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，
∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，
∵对称轴在y轴的右侧，a，b异号，∴b＞0，
∴①abc＜0，正确；
∵-$\frac{b}{2a}$＜1，
∴②b＜-2a，正确；
由于抛物线的顶点纵坐标大于2，即：$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$＞2，
由于a＜0，所以4ac-b²＜8a，即b²+8a＞4ac，故③正确，
∵图象经过点（1，2），∴a+b+c=2，b=2-a-c，
当x=-1时，y＜0，∴a-b+c＜0，
2a+2c-2＜0，2a+c＜2-c，2-c＞0，
∴④不一定正确
故选：C．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax²+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=-$\frac{b}{2a}$判断符号．
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．
（4）b²-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b²-4ac＞0；1个交点，b²-4ac=0；没有交点，b²-4ac＜0．