Question

3．如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A、B、C、D不重合），经过P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，线段OQ所扫过过的面积为（　　）

• A． $\frac{π}{12}$
• B． $\frac{π}{8}$
• C． $\frac{π}{6}$
• D． $\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 由于OP的长度不变，始终等于半径，则根据矩形的性质可得OQ=1，再由走过的角度代入弧长公式求得点Q走过的路径长，入会根据扇形的面积公式即可得到结论．

解答 解：∵PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，
∴四边形ONPM是矩形，
又∵点Q为MN的中点，
∴点Q为OP的中点，
则OQ=1，
点Q走过的路径长=$\frac{45π×1}{180}$=$\frac{π}{4}$．
∴线段OQ所扫过过的面积=$\frac{1}{2}×\frac{π}{4}$×1=$\frac{π}{8}$，
故选B．

点评 本题考查了扇形的面积的计算，弧长的计算，矩形的性质，解答本题的关键是根据矩形的性质得出点Q运动轨迹的半径，要求同学们熟练掌握弧长的计算公式．