Question

11．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O．   
（1）在图中作出⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：BC为⊙O的切线；
（3）若AC=3，tanB=$\frac{3}{4}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）作图思路：可做AD的垂直平分线，这条垂直平分线与AB的交点就是所求圆的圆心，这个圆心和A点或D点的距离就是圆的半径．
（2）要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．本题中可先连接OD再证明OD⊥BC即可．
（3）在Rt△ABC中，由“tanB=$\frac{3}{4}$，AC=3”求得BC=4，AB=5；然后在Rt△ODB中，利用∠B的正切值求得$\frac{OD}{BD}$=$\frac{3}{4}$；设一份为x，则OD=OA=3x，则BD=4x，OB=5x．列出关于x的方程，解方程即可．

解答 解：（1）如图；
（2）连接OD；
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC；
又∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠DAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODC=∠C=90°，
∴BC为⊙O的切线．
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=$\frac{3}{4}$，AC=3，
∴BC=4，AB=5，
在Rt△ODB中，tanB=$\frac{OD}{BD}$=$\frac{3}{4}$，
设OD=OA=3x，则BD=4x，OB=5x，
∴AB=8x，
∴8x=5，
解得x=$\frac{5}{8}$，
∴半径OA=$\frac{15}{8}$．

点评 本题考查了学生的运用基本作图的知识作复杂图的能力，切线的判定及解直角三角形等知识点．本题中作图的理论依据是垂径定理．