Question

矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF．
（1）当A′与B重合时，（如图1），EF=______；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长；
（2）观察图3和图4，设BA′=x，①当x的取值范围是______时，四边形AEA′F是菱形；②在①的条件下，利用图4证明四边形AEA′F是菱形．

Answer 1

解：（1）当A′与B重合时，如图1，把矩形对折，所以EF=AD=5．
故答案为5；
如图2，DC=AB=3，A′F=AD=5，
在Rt△A′CF中，A′C==4，
设AE=t，则BE=3-t，EA′=t，
在Rt△EBA′中，BA′=BC-A′C=5-4=1，
∵BE²+BA′²=EA′²，
∴（3-t）²+1²=t²，解得t=，
在RtAEF中，AE=，AF=5，
∴EF==；

（2）①3≤x≤5；
②如图4，∵△AEF沿EF折叠到△A′EF，
∴EA=EA′，FA=FA′，∠AEF=∠A′EF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AF∥EC，
∴∠A′EF=∠AFE，
∴∠A′FE=∠A′EF，
∴A′E=A′F，
∴AE=EA′=A′F=FA，
∴四边形AEA′F是菱形．
分析：（1）由于矩形对折，于是EF=AD=5；根据折叠的性质得到DC=AB=3，A′F=AD=5，在Rt△A′CF中利用勾股定理可计算出A′C=4，设AE=t，则BE=3-t，EA′=t，在Rt△EBA′中，利用勾股定理得（3-t）²+1²=t²，解得t=，然后在RtAEF中，利用勾股定理即可计算出EF；
（2）①当折痕FE过B点时，四边形AEA′F是正方形，BA′最小，此时BA′=BA=3；当点A的对应点A′落在C点时，BA′=5，于是得到x的取值范围是3≤x≤5，四边形AEA′F是菱形；
②根据折叠的性质得到EA=EA′，FA=FA′，∠AEF=∠A′EF，根据平行线的性质可得∠A′EF=∠AFE，则有∠A′FE=∠A′EF，于是A′E=A′F，易得AE=EA′=A′F=FA，根据菱形的判定即可得到结论．
点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，折痕垂直平分对应点的连线段．也考查了矩形的性质、勾股定理以及菱形的判定与性质．