Question

在△ABC中，点D、E、F顺次在边AB、BC、CA上，设AD=p•AB，BE=q•BC，CF=r•CA，其中p、q、r是正数，且使p+q+r=

2

3

，p2+q2+r2=

2

5

，则S_△DEF：S_△ABC=

 

．

Answer 1

分析：首先根据三角形面积关系求得S_△ADF=（1-r）•p•S_△ABC，S_△BDE=（1-q）•r•S_△ABC，S_△EFC=（1-p）•q•S_△ABC，又由（p+q+r）²=（p²+q²+r²）+2（pr+qr+pq），p+q+r=

2

3

，p²+q²+r²=

2

5

，则可求得答案．

解答：解：如图：
∵AD=p•AB，BE=q•BC，CF=r•CA，
∴S_△ADF=（1-r）•p•S_△ABC，S_△BDE=（1-q）•r•S_△ABC，S_△EFC=（1-p）•q•S_△ABC，
∴S_△DEF=S_△ABC-S_△ADF-S_△BDE-S_△EFC=[1-（1-r）•p-（1-q）•r-（1-p）•q]•S_△ABC=[1-（p+q+r）+（pr+qy+pq）]•S_△ABC，
∵（p+q+r）²=（p²+q²+r²）+2（pr+qr+pq），p+q+r=

2

3

，p²+q²+r²=

2

5

，
∴pr+qr+pq=

1

2

[（p+q+r）²-（p²+q²+r²）]=

1

45

，
∴S_△DEF=（1-

2

3

+

1

45

）•S_△ABC=

16

45

S_△ABC，
∴S_△DEF：S_△ABC=16：45．
故答案为：16：45．

点评：此题考查了三角形面积之间的关系以及完全平方公式的变形．此题难度较大，注意数形结合与整体思想的应用．