Question

如图，中，，为的中点．

操作：过点做的垂线，过点作的平行线，两直线相交于点，在的延长线上截取，联结、．

     

（1）试判断与之间有怎样的关系，并证明你所得的结论；

（2）如果，，求的长．

 

Answer 1

【答案】

解：如图，（1）EF与BD互相垂直平分．

证明如下：连结DE、BF，∵BE //DF，

∴四边形BEDF是平行四边形． 

∵CD⊥BE，∴CD⊥AD，

∵∠ABC=90º，E为AC的中点，

∴BE=DE=，

∴四边形BEDF是菱形．

∴EF与BD互相垂直平分．

（2）设DF=BE=，则AC=2，AD=AF–DF=13–．

在Rt△ACD中，∵，（1分）∴．

∴AC=10．

【解析】（1）证平行四边形BEDF，根据直角三角形斜边上的中线证BE=DF，推出菱形BEDF即可；

（2）设DF=BE=x，则AC=2x，AD=AF-DF=13-x，在Rt△ACD中根据勾股定理求出x，即可得到答案．