Question

【题目】如图，在矩形中，，.

（1）如果、分别是、的中点，是对角线上的点，，则的长为________；

（2）如果、分别是、上的点，,是对角线上的点.下列判断正确的是_____．

①在上存在无数组,，使得四边形是平行四边形；

②在上存在无数组,，使得四边形是矩形；

③在上存在无数组,，使得四边形是菱形；

④当时，存在、、，使得四边形是正方形.

Answer 1

【答案】2或8 ①②③④

【解析】

（1）分两种情况，点G在线段OA或OC上，首先利用矩形的性质证明，得到，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出，然后利用勾股定理求出AC的长度，进而可得到AO的长度，最后利用即可求解．

（2）①利用平行四边形的判定方法判定即可；

②利用矩形的判定方法判定即可；

③利用菱形的判定方法判定即可；

④先假设存在这样的正方形，然后利用正方形的性质求出AE的长度，看是否能找到满足条件的E,F,H点，进而可得出结论．

（1）当点G在线段OC上时，如图，

∵四边形ABCD是矩形，

∴ ，

．

∵点E,F分别是AD,BC的中点，

∴ ．

在和中，

，

．

，

．

，

，

，

；

当点G在线段OA上时，如图，

同理可求，

∴，

综上所述，AG的长度为2或8；

（2）只要满足即可得出四边形是平行四边形，故①正确

理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴ ，

．

在和中，

，

，

∴四边形是平行四边形；

②在①的基础上再保证即可证明四边形是矩形，而满足条件的有无数个，故②正确；

③在①的基础上，需要再满足，这时E,F点的位置就固定下来了，但是只要满足即可得到四边形是菱形，而满足条件的有无数个，故③正确；

④假设当时，存在、、，使得四边形是正方形，则有，

，

，

．

，

，

．　

，

∴线段AD上存在点E，

∴只要同时满足就能得到四边形是正方形，故④正确．