Question

如图，直线y₁=

1

2

x+

5

2

与x轴、y轴分别交于点C、D，直线y₂=3x-5与x轴、y轴分别交于点B、A，两直线交于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）求∠CEA的度数；
（3）P（0，

9

2

）为y轴上一点，点M从点P出发以每秒1个单位的速度向点D运动，同时点Q从点D出发以每秒

5

个单位的速度向点C运动，运动时间为t，问t为何值S_△EMQ的面积最大？

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）求交点坐标是一次函数中非常基础题目，方法就是设交点坐标为（x，y），利用在图象上的点一定满足图象的方程，因为交点同时在两条直线上，那么它的坐标就同时满足两个直线方程，进而组成一元二次方程组，求得x，y，即得坐标．
（2）求角度一般考虑的特殊角或者特殊直角三角形等内容，可是题目中∠CEA无法分割成特殊角的组合也不在特殊直角三角形中．既然（1）中求E点坐标，（3，4）表示OE的长度恰为5，而CO，AO也都为5，这里若以5为半径作圆，⊙O恰好经过E、C、A，且∠CEA为一个圆周角，其对应圆心角恰为直角，则角度可求．
（3）面积的最值问题，一般都是通过动点运动找到面积和时间t之间的函数关系，再利用函数最值性质解决．本题中的△EMQ的底、高都不平行x轴或y轴，那如何简易的表示其面积呢？分割，这是函数综合题中常用的求三角形面积的方法，一般以其一个顶点做关于y轴的平行线，则三角形就分为两个底、高平行x轴或y轴的小三角形，如此最终表示大三角形面积．本题就可以用S_△MEQ=S_△QMD+S_△EDM，结果易得．

解答：解：（1）设E（x，y），
∵直线y₁=

1

2

x+

5

2

与直线y₂=3x-5交于点E，
∴

y= 1 2 x+ 5 2 y=3x+5

，
解得

x=3 y=4

，
即E（3，4）．

（2）如图，连接OE，过点E作EF⊥x轴于F，以O为圆心，CO的长为半径画圆．
在Rt△OEF中，
∵OF=3，EF=4，
∴OE=5．
∵直线y₁=

1

2

x+

5

2

与x轴、y轴分别交于点C、D，
∴C（-5，0），D（0，

5

2

）．
∵直线y₂=3x-5与x轴、y轴分别交于点B、A，
∴A（0，-5），B（

5

3

，0）．
∴CO=OA=OE=5，
∴A，E也都在⊙O上，
∴∠CEA=

1

2

∠COA=

1

2

•90°=45°．

（3）如图，过点Q作QG⊥y轴于G，过点E作EH⊥y轴于H，
在Rt△COD中，
∵CO=5，OD=

5

2

，
∴CD=

5 2

2

，
∵QG∥CO，
∴

QD

DC

=

QG

CO

，
∵QD=

5

t，
∴QG=2t．
∵PD=

9

2

-

5

2

=2，PM=t，
∴MD=2-t，
∴S_△QMD=

1

2

QG•MD=

1

2

•2t•(2-t)=-t²+2t，
∵EF=3，
∴S_△EDM=

1

2

EF•MD=

1

2

•3•(2-t)=-

3

2

t+3，
∴S_△MEQ=S_△QMD+S_△EDM=-t2+

t

2

+3，（0≤t≤2）．
∴根据二次函数最值性质，t=-

1 2

2•(-1)

=

1

4

时，S_△MEQ最大．

点评：本题考查了函数图象与过其点的坐标的关系，也考查了圆的相关知识，这里提供了一种求角度的特殊思路，利用圆的特征来求，当然这需要足够的前提条件．最后一问的动点面积最值问题是一个非常常规的题，考试中常见，需要加强要求．总而言之，本题是一道质量很高的题目，同学们要深度体会其中运用的数学思想．