Question

8．已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O与边DC相切于点D，交对角线AC于点E，连接DE并延长交AB的延长线于点F，且AE=DE．
（1）求证：AD=AF；
（2）若tan∠CDE=$\frac{3}{4}$，AE=5，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）证明∠ADE=∠CDF=∠AFD可得结论；
（2）如图，连接OE，由垂径定理得：OE⊥AD，则AG=DG，由tan∠CDE=tan∠ADE=$\frac{3}{4}$=$\frac{EG}{DG}$，计算DG=4，AD=AF=8，证明△AED∽△FAD，可得FD的长，FE的长，根据△DEC∽△FEA，列比例式可得结论．

解答 证明：（1）∵AE=DE，
∴∠ADE=∠DAE，
∵DC是⊙O的切线，
∴∠CDF=∠DAE，
∴∠ADE=∠CDF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CDF=∠AFD，
∴∠AFD=∠ADE，
∴AD=AF；
（2）如图，连接OE，交AD于G，
∵AE=DE，
∴$\widehat{AE}=\widehat{DE}$，
∴OE⊥AD，
∴AG=DG，
由（1）知：∠ADE=∠CDE，
∴tan∠CDE=tan∠ADE=$\frac{3}{4}$=$\frac{EG}{DG}$，
设EG=3x，DG=4x，
∴DE=5x，
∵AE=DE=5，
则5x=5，
x=1，
∴DG=4，
∴AD=AF=8，
∵∠DAE=∠ADE=∠AFD，
∴△AED∽△FAD，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{AF}{FD}$，
∴$\frac{5}{8}=\frac{8}{FD}$，
∴FD=$\frac{64}{5}$，
∴EF=FD-DE=$\frac{64}{5}$-5=$\frac{39}{5}$，
∵DC∥AF，
∴△DEC∽△FEA，
∴$\frac{DE}{EF}=\frac{EC}{AE}$，
∴$\frac{5}{\frac{39}{5}}=\frac{EC}{5}$，
∴EC=$\frac{125}{39}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、垂径定理、三角形相似的性质和判定、三角函数，常利用等角的三角函数列式求线段的长，本题第二问有难度，熟练掌握三角形相似的判定是关键．