Question

如图，直角梯形ABCD的腰BC所在直线的解析式为y=-x-6，点A与坐标原点O重合，点D的坐标为（0，-4），将直角梯形ABCD绕点O顺时针旋转180°，得到直角梯形OEFG（如图1）．
（1）直接写出E，F两点的坐标及直角梯形OEFG的腰EF所在直线的解析式；
（2）将图1中的直角梯形ABCD先沿x轴向右平移到点A与点E重合的位置，再让直角顶点A紧贴着EF，向上平移直角梯形ABCD（即梯形ABCD向上移动时，总保持着AB∥FG），当点A与点F重合时，梯形ABCD停止移动．观察得知：在梯形ABCD移动过程中，其腰BC始终经过坐标原点O．（如图2）
①设点A的坐标为（a，b），梯形ABCD与梯形OEFG重合部分的面积为S，试求a与何值时，S的值恰好等于梯形OEFG面积的；
②当点A在EF上滑动时，设AD与x轴的交点为M，试问：在y轴上是否存在点P，使得△PAM是底角为30°的等腰三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（利用图3进行探索）

Answer 1

解：（1）E（6，0），F（2，4），EF所在直线的解析式为y=-x+6．

（2）梯形OEFG的面积为（2+6）•4，
∵点A（a，b）在直线EF上，
∴A（a，-a+6，
由题意得，
若S的值为，则，
，
即a²-6a+5=0，∴a₁=1，a₂=5，
又a₁=1不合题意，舍去，取a=5；
∴当a=5时，S的值恰好等于梯形OEFG的面积的．

（3）显然，满足条件的等腰△PAM的顶角应为120°，分下列三种情况考虑：
①当∠PAM为顶角时（如图1），设AB交y轴于点Q，OM=x，
∵点A在直线y=-x+6上，∴AM=-x+6，
在Rt△PQA中，∠PAQ=120°-90°=30°，
∴PQ=AP=AM；
∴OP=OQ+QP=AM=（-x+6），
在Rt△POM中，∠PMO=90°-30°=60°，
∴OP=OM•tan∠PMO=x；
∴（-x+6）=x，x=．
②当∠PMA为顶角时，画图可知合条件的点P₂在y轴的负半轴上；
Rt△P₂OM中，∠P₂MO=120°-90°=30°，且OM仍为；
∴，
即；
③当∠APM为顶角时（如图2）过点P₃作P₃N⊥AM于点M，
设OM=x，在Rt△P₃OM中，∠P₃MO=90°-30°=60°，
∴，
∴，
∴，x=2，
此时点A的坐标为，即点A与点F重合，∴，即，
由①，②，③得，满足条件的点P坐标为．
分析：（1）根据E（6，0），F（2，4），利用待定系数法可求得EF所在直线的解析式；
（2）根据梯形OEFG的面积为（2+6）•4，A（a，-a+6，
由题意得，
若S的值为，则可得a²-6a+5=0，所以a₁=1，a₂=5，又a₁=1不合题意，舍去，取a=5，
可求得当a=5时，S的值恰好等于梯形OEFG的面积的；
（3）满足条件的等腰△PAM的顶角应为120°，分下列三种情况考虑：
①当∠PAM为顶角时（如图1），设AB交y轴于点Q，OM=x，利用Rt△PQA，Rt△POM中的有关角和线段可求得P₁（0，）；
②当∠PMA为顶角时，画图可知合条件的点P₂在y轴的负半轴上，可求；
③当∠APM为顶角时（如图2）过点P₃作P₃N⊥AM于点M，点A与点F重合，即，所以满足条件的点P坐标为．
点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．