Question

已知二次函数y=-x²+（k+1）x-k的图象经过一次函数y=-x+4的图象与x轴的交点A．（如图）
（1）求二次函数的解析式；
（2）求一次函数与二次函数图象的另一个交点B的坐标；
（3）若二次函数图象与y轴交于点D，平行于y轴的直线l将四边形ABCD的面积分成1：2的两部分，则直线l截四边形ABCD所得的线段的长是多少？（直接写出结果）

Answer 1

解：（1）由y=-x+4，得A（4，0），
又二次函数图象经过点A，
则0=-16+4（k+1）-k，
解得k=4，
所以二次函数解析式为y=-x²+5x-4．

（2）由，
解得，，
所以点B的坐标为（2，2）．

（3）令y=0代入二次函数得x=1或x=4，
则C点坐标为（1，0）
令x=0代入2此函数得y=-4，则D点坐标为（0，-4）
∴四边形面积为：×（4-1）×2+×（4-1）×4=9，
①若直线在点B的左侧，
令平行于y轴的直线交BC于E，交CA于F，交AD于G，
求得BC的函数为y=2x-2
则=，
同理求得AD的函数为y=x-4，
∴AF=FG，
设CF=a＞0，
则EF=2a，AF=3-a，FG=3-a，
∴S_△EFC+S_{四边形FCDG}=S_△EFC+S_梯形OFGD-S_△OCD=a•2a+（3-a+4）•（a+1）-×1×4=3，
解得：a=2-3；
②若直线在点B的右侧，
令平行于y轴的直线交AB于E，交CA于F，交AD于G，
求得AB的函数为y=-x+4，
则EF=FA，
同理求得AD的函数为y=x-4，
∴AF=FG，
设AF=a＞0，
则EF=a，AF=a，FG=a，
∴S_△EFA+S_△AFG=a•a+a•a=3，
解得：a=，
∴EG=EF+FG=2a=2．
故线段长为2．
分析：（1）本题需先求出A点的坐标，再代入二次函数的解析式即可．
（2）本题需先根据题意列出方程组求出x、y的值即可得出点B的坐标．
（3）本题需先根据题意分两种情况画出图形，再分别进行计算即可得出线段AB的长．
点评：本题主要考查了二次函数的综合应用，在解题时要能灵运用二次函数的图象和性质求出二次函数的解析式，利用数形结合思想解题是本题的关键．