Question

18．已知一次函数y=x-2与x轴，y轴分别交于点A和点B
（1）求点A，点B的坐标，及△OAB的面积；
（2）在坐标轴上确定一点C，使△ABC是直角三角形；
（3）在坐标系中确定一点D，使点A、O、B、D四点构成的四边形为平行四边形．

Answer 1

分析 （1）分别将x=0、y=0代入一次函数解析式中求出与之对应的y、x的值，由此即可得出点B、A的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△OAB的面积；
（2）由点A、B的坐标可得出∠OAB=∠OBA=45°，分∠ACB=90°、∠BAC=90°及∠ABC=90°三种情况考虑，根据点A、B的坐标结合等腰直角三角形的性质即可得出点C的坐标，此题得解；
（3）分AB为边及AB为对角线两种情况考虑，根据点A、B、O的坐标结合平行四边形的性质即可得出点D的坐标，此题得解．

解答 解：（1）当x=0时，y=x-2=-2，
∴点B的坐标为（0，-2）；
当y=x-2=0时，x=2，
∴点A的坐标为（2，0）．
∴OA=OB=2，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×2×2=2．
（2）∵点A（2，0），点B（0，-2），
∴∠OAB=∠OBA=45°．
△ABC为直角三角形分三种情况（如图1所示）：
当∠ACB=90°时，点C与点O重合，
∴点C的坐标为（0，0）；
当∠BAC=90°时，∵△BAC为等腰直角三角形，
∴点C的坐标为（0，2）；
当∠ABC=90°时，∵△ABC为等腰直角三角形，
∴点C的坐标为（-2，0）．
综上所述：使△ABC为直角三角形的点C的坐标是（0，0）、（0，2）或（-2，0）．
（3）点A、O、B、D四点构成的四边形为平行四边形分两种情况（如图2所示）：
①当AB为边时，∵四边形ABOD或四边形ABDO为平行四边形，
∴点D的坐标为（2，2）或（-2，-2）；
②当AB为对角线时，∵四边形ADBO为平行四边形，
∴点D的坐标为（2，-2）．
综上所述：使点A、O、B、D四点构成的四边形为平行四边形的点D的坐标为（2，2）、（-2，-2）或（2，-2）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、等腰直角三角形以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点A、B的坐标；（2）分∠ACB=90°、∠BAC=90°及∠ABC=90°三种情况考虑；（3）分AB为边及AB为对角线两种情况考虑．