Question

已知二次函数y=

1

2

x²+bx+c的图象经过点A（-3，6），并与x轴交于点B（-1，0）和点C，顶点为P．
（1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象；
（2）设D为线段OC上的一点，满足∠DPC=∠BAC，求点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切？如果存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求出b，c的值后可求出该函数的解析式；
（2）证明△DPC∽△BAC，利用线段比求出各相关线段的值后易求点C的坐标；
（3）过M作MH⊥AC，MG⊥PC，推出△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的内切圆圆心，根据直线与圆的关系进行解答．

解答：解：（1）∵二次函数y=

1

2

x²+bx+c的图象过点A（-3，6），B（-1，0），
得

9 2 -3b+c=6 1 2 -b+c=0

，
解得

b=-1 c=- 3 2

．
∴这个二次函数的解析式为：
y=

1

2

x²-x-

3

2

．（4分）
由解析式可求P（1，-2），C（3，0），（5分）
画出二次函数的图象；（6分）

（2）解法一：
易证：∠ACB=∠PCD=45°，
又已知：∠DPC=∠BAC，
∴△DPC∽△BAC，（8分）
∴

DC

BC

=

PC

AC

，
易求AC=6

2

，PC=2

2

，BC=4，
∴DC=

4

3

，
∴OD=3-

4

3

=

5

3

，
∴D（

5

3

，0）．（10分）
解法二：过A作AE⊥x轴，垂足为E，
设抛物线的对称轴交x轴于F，
亦可证△AEB∽△PFD，（8分）
∴

PE

PF

=

EB

FD

，
易求：AE=6，EB=2，PF=2，
∴FD=

2

3

，
∴OD=

2

3

+1=

5

3

，
∴D（

5

3

，0）；（10分）

（3）存在．
①过M作MH⊥AC，MG⊥PC垂足分别为H、G，设AC交y轴于S，CP的延长线交y轴于T，
∵△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的内切圆圆心，
∴MG=MH=OM，（11分）
又∵MC=

2

OM且OM+MC=OC，
∴

2

OM+OM=3，
得OM=3

2

-3，
∴M（3

2

-3，0）（12分）
②在x轴的负半轴上，存在一点M′，
同理OM′+OC=M′C，OM′+OC=

2

OM′
得OM′=3

2

+3
∴M′(-3

2

-3，0)（14分）
即在x轴上存在满足条件的两个点．

点评：本题综合考查的是二次函数的有关知识以及直线与圆的关系，难度较大．