Question

已知二次函数y=x²+px+q（p，q为常数，△=p²-4q＞0）的图象与x轴相交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，且A，B两点间的距离为d，例如，通过研究其中一个函数y=x²-5x+6及图象（如图），可得出表中第2行的相关数据．
（1）在表内的空格中填上正确的数；
（2）根据上述表内d与△的值，猜想它们之间有什么关系？再举一个符合条件的二次函数，验证你的猜想；
（3）对于函数y=x²+px+q（p，q为常数，△=p²-4q＞0）证明你的猜想．聪明的小伙伴：你能再给出一种不同于（3）的正确证明吗？我们将对你的出色表现另外奖励3分．

y=x2+px+q	p	q	△	x1	x2	d
y=x2-5x+6	-5	6	1	2	3	1
y=x2- 1 2 x	- 1 2		1 4		1 2
y=x2+x-2		-2		-2		3

Answer 1

分析：（1）p为一次项系数；q为二次函数的常数项；△为b²-4ac；一根为常数项÷另一根；d为较大根于较小根之差；
（2）代入相关值后可得相关量之间的关系；
（3）令y=0，得出x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q．继而推出d²=（|x₁-x₂|）²=△

解答：解：（1）易得第三行q=0，x₁=0，d=

1

2

；第四行为p=1，△=9，x₂=1；

（2）猜想：d²=△．
例如：y=x²-x-2中；p=-1，q=-2，△=9；
由x²-x-2=0得x₁=2，x₂=-1，d=3，d²=9，
∴d²=△；

（3）证明．令y=0，得x²+px+q=0，
∵△＞0
设x²+px+q=0的两根为x₁，x₂，
则x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q，
d²=（|x₁-x₂|）²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂
=（-p）²-4q=p²-4q=△，

点评：本题考查二次函数的性质的综合运用，需注意可根据具体的数值得到相应的量之间的关系．