Question

22、已知二次函数y=x²+mx+m-5，
（1）求证：不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点；
（2）求当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间的距离最短．

Answer 1

分析：（1）根据a²-4ab与0的大小关系来判断二次函数与x轴交点的个数，即m²-4（m-5）是否大于0，算出其取值范围即可；
（2）设函数与x轴两个交点的值为x₁，x₂，且x₂＞x₁，然后可根据函数两个值的和等于m，两个值的积等于m-5算出x₂-x₁的值，最后求出其最小值即可．

解答：解：（1）根据a²-4ab与0的大小关系来判断二次函数与x轴交点的个数，
即m²-4（m-5）=m²-4m+20=（m-2）²+16＞0，
所以抛物线总与x轴有两个交点；

（2）设函数与x轴两个交点的值为x₁，x₂，且x₂＞x₁，
x₁+x₂=m，且x₁•x₂=m-5，
所以（x₂-x₁）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=m²-4（m-5）=m²-4m+20=（m-2）²+16，
所以当m=2时，x₂-x₁有最小值4，
所以，抛物线与x轴两交点之间的距离最短为4．

点评：本题主要考查对于a²-4ab与0的等量关系来判断二次函数与x轴交点的个数的判定，以及对于二次函数性质的掌握．