【题目】如图1,矩形OABC顶点B的坐标为(8,3),定点D的坐标为(12,0),动点P从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动,动点Q从点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动,PQ两点同时运动,相遇时停止.在运动过程中,以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR.设运动时间为t秒.
(1)当t=时,△PQR的边QR经过点B;
(2)设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数关系式;
(3)如图2,过定点E(5,0)作EF⊥BC,垂足为F,当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时,过点R作x轴、y轴的平行线,分别交EF、BC于点M、N,若∠MAN=45°,求t的值.
【答案】
(1)1秒
(2)
解:①当0≤t≤1时,如答图1﹣1所示.
设PR交BC于点G,
过点P作PH⊥BC于点H,则CH=OP=2t,GH=PH=3.
S=S矩形OABC﹣S梯形OPGC
=8×3﹣ (2t+2t+3)×3
= ﹣6t;
②当1<t≤2时,如答图1﹣2所示.
设PR交BC于点G,RQ交BC、AB于点S、T.
过点P作PH⊥BC于点H,则CH=OP=2t,GH=PH=3.
QD=t,则AQ=AT=4﹣t,
∴BT=BS=AB﹣AQ=3﹣(4﹣t)=t﹣1.
S=S矩形OABC﹣S梯形OPGC﹣S△BST
=8×3﹣ (2t+2t+3)×3﹣ (t﹣1)2
=﹣ t2﹣5t+19;
③当2<t≤4时,如答图1﹣3所示.
设RQ与AB交于点T,则AT=AQ=4﹣t.
PQ=12﹣3t,∴PR=RQ= (12﹣3t).
S=S△PQR﹣S△AQT
= PR2﹣ AQ2
= (12﹣3t)2﹣ (4﹣t)2
= t2﹣14t+28.
综上所述,S关于t的函数关系式为:
S= .
(3)
解:∵E(5,0),∴AE=AB=3,
∴四边形ABFE是正方形.
如答图2,将△AME绕点A顺时针旋转90°,得到△ABM′,其中AE与AB重合.
∵∠MAN=45°,
∴∠EAM+∠NAB=45°,
∴∠BAM′+∠NAB=45°,
∴∠MAN=∠M′AN.
连接MN.在△MAN与△M′AN中,
∴△MAN≌△M′AN(SAS).
∴MN=M′N=M′B+BN
∴MN=EM+BN.
设EM=m,BN=n,则FM=3﹣m,FN=3﹣n.
在Rt△FMN中,由勾股定理得:FM2+FN2=MN2,即(3﹣m)2+(3﹣n)2=(m+n)2,
整理得:mn+3(m+n)﹣9=0.①
延长NR交x轴于点S,则m=EM=RS= PQ= (12﹣3t),
∵QS= PQ= (12﹣3t),AQ=4﹣t,
∴n=BN=AS=QS﹣AQ= (12﹣3t)﹣(4﹣t)=2﹣ t.
∴m=3n,
代入①式,化简得:n2+4n﹣3=0,
解得n=﹣2+ 或n=﹣2﹣ (舍去)
∴2﹣ t=﹣2+
解得:t=8﹣2 .
∴若∠MAN=45°,则t的值为(8﹣2 )秒.
【解析】解:(1)△PQR的边QR经过点B时,△ABQ构成等腰直角三角形,
∴AB=AQ,即3=4﹣t,
∴t=1.
即当t=1秒时,△PQR的边QR经过点B.
【考点精析】认真审题,首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形;等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°),还要掌握图形的旋转(每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度,任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.旋转的方向、角度、旋转中心是它的三要素)的相关知识才是答题的关键.
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【题目】如图,一个半径为r的圆形纸片在边长为a( )的等边三角形内任意运动,则在该等边三角形内,这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是( )
A.
B.
C.
D.πr2
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【题目】如图,点P在以AB为直径的半圆内,连接AP、BP,并延长分别交半圆于点C、D,连接AD、BC并延长交于点F,作直线PF,下列说法一定正确的是( ) ①AC垂直平分BF;②AC平分∠BAF;③FP⊥AB;④BD⊥AF.
A.①③
B.①④
C.②④
D.③④
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【题目】某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究,已知AB=8.
问题思考:
如图1,点P为线段AB上的一个动点,分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF.
(1)当点P运动时,这两个正方形的面积之和是定值吗?若是,请求出;若不是,请求出这两个正方形面积之和的最小值.
(2)分别连接AD、DF、AF,AF交DP于点K,当点P运动时,在△APK、△ADK、△DFK中,是否存在两个面积始终相等的三角形?请说明理由.
问题拓展:
(3)如图2,以AB为边作正方形ABCD,动点P、Q在正方形ABCD的边上运动,且PQ=8.若点P从点A出发,沿A→B→C→D的线路,向点D运动,求点P从A到D的运动过程中,PQ的中点O所经过的路径的长.
(4)如图3,在“问题思考”中,若点M、N是线段AB上的两点,且AM=BN=1,点G、H分别是边CD、EF的中点,请直接写出点P从M到N的运动过程中,GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值.
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【题目】为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护,需测量其长度.如图,在地面上选取一点C,测得∠ACB=45°,AC=24m,∠BAC=66.5°,求这棵古杉树AB的长度.(结果取整数) 参考数据: ≈1.41,sin66.5°≈0.92,cos66.5°≈0.40,tan66.5°≈2.30.
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【题目】如图,A、B两个小集镇在河流CD的同侧,分别到河的距离为AC=10千米,BD=30千米,且CD=30千米,现在要在河边建一自来水厂,向A、B两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万,请你在河流CD上选择水厂的位置M,使铺设水管的费用最节省,并求出总费用是多少?
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【题目】一只不透明的箱子里共有3个球,把它们的分别编号为1,2,3,这些球除编号不同外其余都相同.
(1)从箱子中随机摸出一个球,求摸出的球是编号为1的球的概率;
(2)从箱子中随机摸出一个球,记录下编号后将它放回箱子,搅匀后再摸出一个球并记录下编号,求两次摸出的球都是编号为3的球的概率.
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【题目】如图,∠AOB的边OB与x轴正半轴重合,点P是OA上的一动点,点N(6,0)是OB上的一定点,点M是ON的中点,∠AOB=30°,要使PM+PN最小,则点P的坐标为_____.
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【题目】如图,点A,B,C在同一直线上,在这条直线同侧作等边△ABD和等边△BCE,连接AE和CD,交点为M,AE交BD于点P,CD交BE于点Q,连接PQ、BM, 有4个结论:①△ABE≌△DBC,②△DQB≌△ABP,③∠EAC=30°,④∠AMC=120°,请将所有正确结论的序号填在横线上______.
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