Question

【题目】如图的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB延长线交于点E．
（1）求证：∠1=∠2．
（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，如图，

∵DE为⊙O的切线，

∴OD⊥DE，

∴∠ODE=90°，即∠2+∠ODC=90°，

∵OC=OD，

∴∠C=∠ODC，

∴∠2+∠C=90°，

而OC⊥OB，

∴∠C+∠3=90°，

∴∠2=∠3，

∵∠1=∠3，

∴∠1=∠2

（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，

∴OF=1，

∵∠1=∠2，

∴EF=ED，

在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，

∵OD2+DE2=OE2，

∴32+x2=（x+1）2，解得x=4，

∴DE=4，OE=5，

∵AG为⊙O的切线，

∴AG⊥AE，

∴∠GAE=90°，

而∠OED=∠GEA，

∴Rt△EOD∽Rt△EGA，

∴ = ，即 = ，

∴AG=6．

【解析】（1）连接OD，根据切线的性质得OD⊥DE，则∠2+∠ODC=90°，而∠C=∠ODC，则∠2+∠C=90°，由OC⊥OB得∠C+∠3=90°，所以∠2=∠3，而∠1=∠3，所以∠1=∠2；（2）由OF：OB=1：3，⊙O的半径为3得到OF=1，由（1）中∠1=∠2得EF=ED，在Rt△ODE中，DE=x，则EF=x，OE=1+x，根据勾股定理得32+x2=（x+1）2 ， 解得x=4，则DE=4，OE=5，根据切线的性质由AG为⊙O的切线得∠GAE=90°，再证明Rt△EOD∽Rt△EGA，利用相似比可计算出AG．
【考点精析】利用切线的性质定理和相似三角形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．