Question

19．在菱形ABCD中，AB=10cm，对角线BD=16cm，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最值为$\frac{48}{5}$cm．

Answer 1

分析 根据菱形的性质得到AC⊥BD，AO=CO，推出A，C关于BD对称，过A作AN⊥CD于N交BD于M，则CM+MN=AN且CM+MN的最小，根据勾股定理得到AC=12cm，根据菱形的面积公式即可得到结论．

解答 解：如图，在菱形ABCD中，
∵AC⊥BD，AO=CO，
∴A，C关于BD对称，
过A作AN⊥CD于N交BD于M，
则CM+MN=AN且CM+MN的最小，
∵AB=10cm，BD=16cm，
∴AO=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=6，
∴AC=12cm，
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC•BD=AN•CD，
∴AN=$\frac{AC•BD}{2CD}$=$\frac{12×16}{2×10}$=$\frac{48}{5}$．
∴CM+MN的最小值为$\frac{48}{5}$，
故答案为：$\frac{48}{5}$．

点评 此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及锐角三角函数关系应用，利用轴对称得出M点位置是解题关键．