Question

11．已知正方形ABCD的边长为6，点P是直线AD上一点，并且满足3AP=AD，连接BP，作线段BP的垂直平分线交直线BC于点Q，则线段CQ的长度为4或16．

Answer 1

分析 分为两种情况：P在DA的延长线上时，P在AD的延长线上时，连接BE，根据线段垂直平分线求出PE=BE，根据勾股定理求出BE，根据全等求出BQ=PE，即可得出答案．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC=AB=6，
∵3AP=AD，
∴AP=2，
分为两种情况：①如图1所示：P在DA的延长线上时，
连接BE，
∵QE是BP的垂直平分线，
∴PE=BE，
设PE=BE=x，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE²+AB²=BE²，
（x-2）²+6²=x²，
解得：x=10，
即PE=BE=10，
∵AD∥BC，
∴∠P=∠QBO，
在△PEO和△BQO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠P=∠OBQ}\\{PO=OB}\\{∠POE=∠BOQ}\end{array}\right.$
∴△PEO≌△BQO（ASA），
∴BQ=PE=10，
∵CD=6，
∴CQ=6+10=16；
②如图2所示：P在AD的延长线上时，
此时CQ=10-6=4；
故答案为：4或16．

点评 本题考查了线段垂直平分线性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．