Question

3．如图所示，AB为半圆O的直径，点D是半圆弧的中点，半径OC∥BD，过点C作AD的平行线交BA延长线于点E．
（1）判断CE与半圆OD的位置关系，并证明你的结论．
（2）若BD=4，求阴影部分面积．

Answer 1

分析 （1）直接利用圆周角定理结合平行线的性质得出CO⊥EC，即可得出答案；
（2）利用已知得出△ADB为等腰直角三角形，进而得出△ECO为等腰直角三角形，由S_阴影部分=S_△ECD-S_扇形AOC求出答案．

解答 解：（1）CE与半圆OD相切，
理由：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥DB，
∵CO∥DB，
∴CO⊥AD，
∵EC∥AD，
∴CO⊥EC，
∴CE与半圆OD相切；

（2）∵点D平分半圆弧，
∴∠B=45°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∵BD=4，
∴AB=4$\sqrt{2}$，
∴CO=2$\sqrt{2}$，
∵CO∥DB，
∴∠AOC=∠ABD=45°，
由（1）知CO⊥EC，
∴△ECO为等腰直角三角形，
∴S_阴影部分=S_△ECD-S_扇形AOC=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{2}$）²-$\frac{45}{360}$π（2$\sqrt{2}$）²=4-π．

点评 此题主要考查了切线的判定以及等腰直角三角形的性质、扇形面积求法等知识，正确得出△ECO为等腰直角三角形是解题关键．