Question

13．如图，在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动．若AD=2，线段CP的最小值是$\sqrt{5}$-1．

Answer 1

分析 先证得点P在运动中保持∠APD=90°，从而得出点P的路径是一段以AD为直径的弧，连接AD的中点和C的连线交弧于点P，此时CP的长度最小，然后根据勾股定理求得QC，即可求得CP的长．

解答 解：如图：在△ADE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ADE=∠DCF}\\{DE=CF}\end{array}\right.$，
∴∠DAE=∠CDF（SAS），
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠CDF+∠AED=90°，
∴∠DPE=∠APD=90°，
由于点P在运动中保持∠APD=90°，
∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，
设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，
在Rt△QDC中，QC=$\sqrt{C{D}^{2}+Q{D}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{5}$，
∴CP=QC-QP=$\sqrt{5}-1$．
故答案为$\sqrt{5}$-1．

点评 本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．