Question

13．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AB=AD，求证：
（1）直线AC使线段BD的垂直平分线；
（2）∠ABC=∠ADC．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到BO=DO，于是得到直线AC是线段BD的垂直平分线；
（2）根据直线AC是线段BD的垂直平分线，得到AB=AD，CB=CD，根据等腰三角形的性质得到∠ABO=∠ADO，∠CDO=∠CBO，根据等式的性质即可得到结论．

解答 证明：（1）∵AC⊥BD于点O，AB=AD，
∴BO=DO，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线；

（2）∵直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AB=AD，CB=CD，
∴∠ABO=∠ADO，∠CDO=∠CBO，
∴∠ADO+∠CDO=∠ABO+∠CBO，
即∠ABC=∠ADC．

点评 本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握证得的垂直平分线的性质是解题的关键．