Question

25、如图，直线l₁、l₂相交于点A，点B、点C分别在直线l₁、l₂上，AB=k•AC，连接BC，点D是线段AC上任意一点（不与A、C重合），作∠BDE=∠BAC=α，与∠ECF的一边交于点E，且∠ECF=∠ABC．
（1）如图1，若k=1，且∠α=90°时，猜想线段BD与DE的数量关系，并加以证明；
（2）如图2，若k≠1，且∠α≠90°时，猜想线段BD与DE的数量关系，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）连接BE．若k=1，且∠α=90°时，要求线段BD与DE的数量关系，可以通过证明△BED∽△BCA得出；
（2）连接BE．若k≠1，且∠α≠90°时，要求线段BD与DE的数量关系，可以通过证明△BED∽△BCA得出．

解答：证明：（1）连接BE．
∵∠ECF=∠ABC，
∠ECF+∠BCE+∠BCA=∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，
∴∠BCE=∠BAC；
∵∠BDE=∠BAC=α=90°，
∴B、E、D、C四点共圆，
∴∠BED=∠BCA，
∴△BED∽△BCA，
∴BD：DE=AB：AC=k=1，
∴BD=DE．

（2）连接BE．
∵∠ECF=∠ABC，
∠ECF+∠BCE+∠BCA=∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，
∴∠BCE=∠BAC；
∵∠BDE=∠BAC=α，
∴B、E、D、C四点共圆，
∴∠BED=∠BCA，
∴△BED∽△BCA，
∴BD：DE=AB：AC=k，
∴BD=k•DE．

点评：本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．解题的关键是确定B、E、D、C四点共圆．