Question

11．如图，已知抛物线y=-$\frac{1}{2}$（x²-7x+6）的顶点坐标为M，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C．
（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（x-h）²+k（a≠0），并指出顶点M的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R的坐标；
（3）以AB为直径作⊙N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线MP是⊙N的切线．

Answer 1

分析 （1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式，然后根据二次函数的性质求出抛物线的顶点坐标；
（2）连接BC，则BC与对称轴的交点为R，此时CR+AR的值最小；先求出点A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而求出其最小值和点R的坐标；
（3）设点P坐标为（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{7}{2}$x-3）．根据NP=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$列出方程（x-$\frac{7}{2}$）²+（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{7}{2}$x-3）²=（$\frac{5}{2}$）²，解方程得到点P坐标，再计算得出PM²+PN²=MN²，根据勾股定理的逆定理得出∠MPN=90°，然后利用切线的判定定理即可证明直线MP是⊙N的切线．

解答 （1）解：∵y=-$\frac{1}{2}$（x²-7x+6）=-$\frac{1}{2}$（x²-7x）-3=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{7}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
∴抛物线的解析式化为顶点式为：y=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{7}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
顶点M的坐标是（$\frac{7}{2}$，$\frac{25}{8}$）；

（2）解：∵y=-$\frac{1}{2}$（x²-7x+6），
∴当y=0时，-$\frac{1}{2}$（x²-7x+6）=0，
解得x=1或6，
∴A（1，0），B（6，0），
∵x=0时，y=-3，
∴C（0，-3）．
连接BC，则BC与对称轴x=$\frac{7}{2}$的交点为R，连接AR，
则CR+AR=CR+BR=BC，根据两点之间线段最短可知此时CR+AR的值最小，
最小值为BC=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵B（6，0），C（0，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x-3，
令x=$\frac{7}{2}$，得y=$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{2}$-3=-$\frac{5}{4}$，
∴R点坐标为（$\frac{7}{2}$，-$\frac{5}{4}$）；

（3）证明：设点P坐标为（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{7}{2}$x-3）．
∵A（1，0），B（6，0），
∴N（$\frac{7}{2}$，0），
∴以AB为直径的⊙N的半径为$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
∴NP=$\frac{5}{2}$，
即（x-$\frac{7}{2}$）²+（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{7}{2}$x-3）²=（$\frac{5}{2}$）²，
化简整理得，x⁴-14x³+65x²-112x+60=0，
（x-1）（x-2）（x-5）（x-6）=0，
解得x₁=1（与A重合，舍去），x₂=2，x₃=5（在对称轴的右侧，舍去），x₄=6（与B重合，舍去），
∴点P坐标为（2，2）．
∵M（$\frac{7}{2}$，$\frac{25}{8}$），N（$\frac{7}{2}$，0），
∴PM²=（2-$\frac{7}{2}$）²+（2-$\frac{25}{8}$）²=$\frac{225}{64}$，
PN²=（2-$\frac{7}{2}$）²+2²=$\frac{25}{4}$=$\frac{400}{64}$，
MN²=（$\frac{25}{8}$）²=$\frac{625}{64}$，
∴PM²+PN²=MN²，
∴∠MPN=90°，
∵点P在⊙N上，
∴直线MP是⊙N的切线．

点评 本题是二次函数的综合题，其中涉及到二次函数的图象与性质、待定系数法求一次函数的解析式、轴对称-最短路线问题以及切线的判定等知识，综合性较强，难度适中．第（3）问求出点P的坐标是解题的关键．