Question

如图，点A、C、B在同一直线上，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE与BD交于点O，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①AE=BD；②△ACM≌△DCN；③EM=BN；④MN∥BC；⑤∠DOA=60°，其中，正确的结论个数是（　　）

A．5个

B．4个

C．3个

D．2个

Answer 1

分析：根据等边三角形的性质可得AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，然后求出∠ACE=∠BCD，利用“边角边”证明△ACE和△DCB全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BD，从而判断①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠CAE=∠CDB，再利用“角边角”证明ACM和△DCN全等，从而判断②正确；根据全等三角形对应边相等可得AM=DN，CM=CN，然后求出EM=BN，从而判断③正确；再证明△CMN是等边三角形，然后求出∠CNM=60°，得到∠CNM=∠BCE，再根据内错角相等，两直线平行可得MN∥BC，从而判断④正确；在△AOD中，利用三角形的内角和等于180°列式求解即可得到∠DOA=60°，从而判断⑤正确．

解答：解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，
∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△DCB中，
∵

AC=CD ∠ACE=∠BCD BC=CE

，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD，∠CAE=∠CDB，故①正确；
在ACM和△DCN中，
∵

∠ACD=∠BCE AC=CD ∠CAE=∠CDB

，
∴△ACM≌△DCN（ASA），故②正确；
∴AM=DN，CM=CN，
∴AE-AM=BD-DN，
即EM=BN，故③正确；
∵∠MCN=180°-∠ACD-∠BCE=180°-60°-60°=60°，CM=CN，
∴△CMN是等边三角形，
∴∠CNM=60°，
∴∠CNM=∠BCE，
∴MN∥BC，故④正确；
在△AOD中，∵∠CAE=∠CDB，
∴∠ADO+∠DAO=∠ADC+∠DAO+∠CAE=∠ADC+∠DAC=120°，
∴∠DOA=180°-（∠ADO+∠DAO）=180°-120°=60°，故⑤正确，
综上所述，正确的结论有①②③④⑤共5个．
故选A．

点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，综合性较强，但难度不是很大，准确识图找出全等三角形是解题的关键．