Question

【题目】如图，已知一次函数y1=kx+b图象与x轴相交于点A，与反比例函数 的图象相交于B（﹣1，5）、C（ ，d）两点．点P（m，n）是一次函数y1=kx+b的图象上的动点．

（1）求k、b的值；
（2）设﹣1＜m＜ ，过点P作x轴的平行线与函数 的图象相交于点D．试问△PAD的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设m=1﹣a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：将B点的坐标代入y2= ，得c=﹣5，

则y2=﹣ ，

把x= 代入得y=﹣2，

则C（ ，﹣2）

将B、C代入直线y1=kx+b得：

（2）

解：存在．

令y1=0，x= ，则A的坐标是：（ ，0）；

由题意，点P在线段AB上运动（不含A，B），

设点P（ ，n），

∵DP平行于x轴，

∴D、P的纵坐标都是n，

∴D的坐标是：（﹣ ，n），

∴S= nPD= （ + ）×n=﹣ （n﹣ ）2+ ；

而﹣2m+3=n，得0＜n＜5；

所以由S关于n的函数解析式，所对应的抛物线开口方向决定，当n= ，即P（ ， ），S的最大值是：

（3）

解：由已知P（1﹣a，2a+1），易知，m≠n，1﹣a≠2a+1，a≠0；

若a＞0，m＜1＜n，由题设m≥0，n≤2，

则 ，

解不等式组的解集是：0＜a≤ ；

若a＜0，n＜1＜m，由题设n≥0，m≤2，

则 ，

解得：﹣ ≤a＜0；

综上：a的取值范围是：﹣ ≤a＜0，0＜a≤

【解析】（1）B、C两点在反比例函数图象上，根据反比例函数图象上点的横纵坐标的积相等，可求d的值，将B、C两点坐标代入y1=kx+b中，列方程组可求k、b的值；（2）存在，根据直线解析式可求A点坐标，点P在直线上，点P（ ，n），PD∥x轴，则D、P的纵坐标都是n，此时，D（﹣ ，n），则PD= + ，由S= nPD，可求△PAD的面积表达式，利用二次函数的性质求最大值；（3）点P（m，n）在一次函数图象上，由一次函数解析式可知，设m=1﹣a，则P（1﹣a，2a+1），依题意m≠n，可知a≠0，根据a＞0和a＜0两种情况，分别求实数a的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的一次函数的性质和一次函数的图象和性质，需要了解一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小；一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展,变化规律正相反；k的绝对值越大,线离横轴就越远才能得出正确答案．