Question

18．已知二次函数y=（t-4）x²-（2t-5）x+4在x=0与x=5的函数值相等
（1）求二次函数的解析式；
（2）若二次函数的图象与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，一次函数y=kx+b经过点B，C两点，求一次函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，过动点D（0，m）作直线l∥x轴，其中m＞-2．将二次函数的像在直线l下方的部分沿直线l向上翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象M．若直线y=kx+b与新图象M恰有两个公共点，请直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）依据x=0与x=5的函数值相等列出关于t的方程，可求得t的值，从而可得到抛物线的解析式；
（2）令y=0时，得到关于x的方程，可求得A（1，0），B（4，0），令x=0可求得y=4，则C（0，4），设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B和点C的坐标代入可得到关于k，b的方程，然后求得k，b的值即可；
（3）如图1所示：当抛物线y=x²-5x+4关于y=m对称的抛物线与直线BC没有公共点时，直线y=kx+b与新图象M恰有两个公共点．先求得点C关于y=m对称点的坐标，从而可得到抛物线y=x²-5x+4关于y=m对称的抛物线的解析式，然后依据所得抛物线与直线BC没有公共点可求得m的范围；如图2所示：直线y=kx+b与新图象M恰有两个公共点，然后依据所得抛物线与x轴的交点位于（0，4）下方，当x=4时，所得抛物线的y＞0列不等式组求解即可．

解答 解：（1）∵x=0与x=5的函数值相等，
∴25（t-4）-5（2t-5）+4=4，
解得t=5．
∴解析式为y=x²-5x+4．

（2）当y=0时，x²-5x+4=0
解得：x₁=1，x₂=4，
∴A（1，0），B（4，0）．
当x=0时，y=4，则C（0，4）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B和点C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得：k=-1，b=4．
∴直线BC的解析式y=-x+4．

（3）如图1所示：当抛物线y=x²-5x+4关于y=m对称的抛物线与直线BC没有公共点时，直线y=kx+b与新图象M恰有两个公共点．

∵点C关于y=m对称点的坐标为（0，2m-4），
∴抛物线y=x²-5x+4关于y=m对称的抛物线的解析式为y=-x²+5x+2m-4．
∵抛物线y=-x²+5x+2m-4与直线BC没有公共点，
∴方程-x²+5x+2m-4=-x+4无解，
∴△＜0，即36-4×（8-2m）＜0，解得：m＜-$\frac{1}{2}$．
∵m＞-2，
∴-2＜m＜-$\frac{1}{2}$．
如图2所示：直线y=kx+b与新图象M恰有两个公共点．

由函数图象可知2m-4＜4且-4²+5×4+2m-4＞0，
解得：0＜m＜4．
综上所述，m的取值范围为-2＜m＜-$\frac{1}{2}$或0＜m＜4．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、求得原抛物线关于y=m对称抛物线的解析式，以及直线y=kx+b与新图象M恰有两个公共点的条件是解题的关键．