Question

12．如图，在平面直角坐标系中，点C（-3，0），点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且满足$\sqrt{{OB}^{2}-3}$+|OA-1|=0
（1）求点A，点B的坐标．
（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连结AP．设△ABP的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据非负数的性质得到OA、OB的长，即可得到点A、B的坐标；
（2）根据勾股定理得到CB的长度，再根据三角形面积公式即可得到点A到直线CB的距离；再根据△ABP的面积=△ABC的面积-△ACP的面积，即可求出S与t的函数关系式．
（3）先求得∠ABC=90°，然后分两种情况讨论即可求得．

解答 解：（1）∵$\sqrt{{OB}^{2}-3}$+|OA-1|=0

∴OA-1=0、OB²-3=0，
∴OA=1、OB=$\sqrt{3}$，
∴点A的坐标为（1，0）、B的坐标（0，$\sqrt{3}$）；
（2）∵C（-3，0），B（0，$\sqrt{3}$）；
∴OC=3，OB=$\sqrt{3}$
在RT△BOC中，BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
设点A到直线CB的距离为y，则
$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$y=$\frac{1}{2}$×（3+1）×$\sqrt{3}$，
解得y=2．
则S=$\frac{1}{2}$×|2$\sqrt{3}$-t|×2=|2$\sqrt{3}$-t|．
故S与t的函数关系式为：S=-t+2$\sqrt{3}$（0≤t≤2$\sqrt{3}$）或S=t-2$\sqrt{3}$（t＞2$\sqrt{3}$）．
（3）存在，
理由：∵tan∠OBC=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
∴∠OBC=60°，
∴∠BCO=30°，
∴BC=2OB=2$\sqrt{3}$，
∵tan∠OBA=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OBA=30°，
∴∠ABC=90°，AB=2OA=2，
①当0≤t≤2$\sqrt{3}$时，若△PBA∽△AOB时，则$\frac{PB}{OA}$=$\frac{AB}{OB}$，
即$\frac{PB}{1}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
∴PB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴PB•sin60°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=1，PB•cos60°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴P（-1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）；
若△ABP∽△AOB时，则$\frac{PB}{OB}$=$\frac{AB}{OA}$，
即$\frac{PB}{\sqrt{3}}$=$\frac{2}{1}$，
∴PB=2$\sqrt{3}$，
∴PB•sin60°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，PB•cos60°=2$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴P（-3，0），
②当t＞2$\sqrt{3}$时，若△PBA∽△AOB时，则$\frac{PB}{OA}$=$\frac{AB}{OB}$，
即$\frac{PB}{1}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
∴PB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴PB•sin60°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=1，PB•cos60°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴P（1，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）；
若△ABP∽△AOB时，则$\frac{PB}{OB}$=$\frac{AB}{OA}$，
即$\frac{PB}{\sqrt{3}}$=$\frac{2}{1}$，
∴PB=2$\sqrt{3}$，
∴PB•sin60°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，PB•cos60°=2$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴P（3，2$\sqrt{3}$），
所以，存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似，P点的坐标为（-1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）或（-3，0）或（1，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）或（3，2$\sqrt{3}$）．

点评 本题主要考查了非负数的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，三角形面积公式以及一次函数的综合应用，要注意的是（2）中，得到点A到直线CB的距离是解题的关键．