Question

已知抛物线y=-x²+（m+3）x-（m-1）．
（1）求抛物线的顶点坐标（用m表示）；
（2）设抛物线与x轴的两个交点为A（x₁，0）、B（x₂，0），与y轴交点为C，若∠ABC=∠BAC，求m的值；
（3）在（2）的条件下，设Q为抛物线上的一点，它的横坐标为1，试问在抛物线上能否找到另一点P，使PC⊥QC？若点P存在，求点P的坐标；若点P不存在，请说出理由．（请在右方直角坐标系中作出大致图形）

Answer 1

解：（1）∵-x²+（m+3）x-（m-1）
=-[x-（m-3）]²+（m+3）²-（m-1）
=-[x-（m-3）]²+（m²+4m+11）
∴抛物线的顶点的坐标为（m+3，）

（2）在△ABC中，∵∠ABC=∠BAC，
∴BC=AC
∴点C在线段AB的中垂线上
∴y轴为抛物线的对称轴
∴m+3=0．m=-3

（3）在（2）的条件下，m=-3
∴抛物线为y=-x²+4
方法①：将x=0代入y=-x²+4得y=4．
即C（0，4）；
将x=1代入y=-x²+4得y=，即Q（1，）；
∴直线CQ的解析式为y=-x+4．
∴直线CP的解析式为y=2x+4．
，
解得，
∴点P的坐标为（-4，-4）．
方法②：若点P存在，设P（a，b），过Q作QN⊥y轴于N，过P作PM⊥y轴于M
∵QC⊥PC，
∴∠PCM+∠QCN=90°，
∴∠MPC=∠QCN
∴Rt△CPM∽Rt△QCN
∴①
将x=0代入y=-x²+4得y=4．即C（0，4）；
将x=1代入y=-x²+4得y=，即Q（1，）；
将CM=OC+OM=4+|b|，PM=|a|，QN=1
ON=OC-ON=代入（1）式：，|b|=2|a|-4
∵a＜0，b＜0，
∴-b=-2a-4，b=2a+4
∴P（a，2a+4）
代入y=-x²+4并整理得a²+4a=0
∵a≠0
∴a=-4．b=2（-4）+4=-4
∴点P（-4，-4）为所求．
分析：（1）用配方法进行求解即可．
（2）若∠ABC=∠BAC，则有AC=BC，那么A、B关于y轴对称，即抛物线的对称轴为x=0，据此可求出m的值．
（3）已知了Q的横坐标，可代入抛物线中求出Q点的坐标，那么可根据C、Q的坐标求出直线CQ的函数解析式，由于直线CP与CQ垂直，因此两直线的斜率的乘积为-1，由此可求出直线CP的函数解析式，联立直线CP的解析式和抛物线的解析式即可求出交点P的坐标．（也可通过构建相似三角形来求解）
点评：本题主要考查了二次函数的性质、二次函数解析式的确定、函数图象交点等知识．