Question

某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：

时间x（天）	1≤x＜50	50≤x≤90
售价（元/件）	x+40	90
每天销量（件）	200-2x

已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）分成1≤x＜50和50≤x≤90两种情况进行讨论，利用：利润=每件的利润×销售的件数，即可求得函数的解析式；
（2）结合（1）得到的两个解析式，结合二次函数与一次函数的性质分别求得最值，然后两种情况下取最大的即可．

解答：解：（1）当1≤x＜50时，y=（200-2x）（x+40-30）=-2x²+180x+2000，
当50≤x≤90时，
y=（200-2x）（90-30）=-120x+12000，
综上所述：y=

-2x2+180x+2000(1≤x＜50) -120x+12000(50≤x≤90)

；

（2）当1≤x＜50时，二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45，
当x=45时，y_最大=-2×45²+180×45+2000=6050，
当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，
当x=50时，y_最大=6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；

点评：本题考查了二次函数的应用，理解利润的计算方法，理解利润=每件的利润×销售的件数，是关键．