Question

半圆O的直径AB=9，两弦AB、CD相交于点E，弦CD=

27

5

，且BD=7，则DE=（　　）

• A、5
• B、4
• C、3

  2

• D、

  7

  2

  2

Answer 1

考点：圆周角定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：根据圆周角定理得出的两组相等的对应角，易证得△AEB∽△DEC，根据CD、AB的长，即可求出两个三角形的相似比；设BE=x，则DE=7-x，然后根据相似比表示出AE、EC的长，连接BC，首先在Rt△BEC中，根据勾股定理求得BC的表达式，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求得x的值，进而可求出DE的长．

解答：解：∵∠D=∠A，∠DCA=∠ABD，
∴△AEB∽△DEC；
∴

EC

BE

=

DE

AE

=

DC

AB

=

3

5

；
设BE=x，则DE=7-x，EC=

3

5

x，AE=

5

3

（7-x）；
连接BC，则∠ACB=90°；
Rt△BCE中，BE=x，EC=

3

5

x，则BC=

4

5

x；
在Rt△ABC中，AC=AE+EC=

35

3

-

16

15

x，BC=

4

5

x；
由勾股定理，得：AB²=AC²+BC²，
即：9²=（

35

3

-

16

15

x）²+（

4

5

x）²，
整理，得x²-14x+31=0，
解得：x₁=7+3

2

（不合题意舍去），x₂=7-3

2

；
则DE=7-x=3

2

．
故选：C．

点评：此题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识；本题要特别注意的是BE、DE不是相似三角形的对应边，它们的比不等于相似比，以免造成错解．