Question

如图1，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，并将添加的全等条件标注在图上．
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，求∠EFA的度数；
（2）在（1）的条件下，请判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（ 1 ）中的其他条件不变，试问在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：根据SAS可知：在∠MON的两边上以O为端点截取相等的两条相等，另外两个端点与角平分线上任意一点相连，所构成的两个三角形确定，它们关于OP对称．
（1）根据三角形内角和定理可求∠BAC．∠EFA是△ACF的外角，根据外角的性质计算求解；
（2）根据图1的作法，在AC上截取AG=AF，则EF=FG；根据ASA证明△FCD≌△FCG，得DF=FG，故判断EF=FD；
（3）只要∠B的度数不变，结论仍然成立．证明同（2）．

解答：解：如图．（1分）
（1）如图1，∵∠ACB=90°，∠B=60°．
∴∠BAC=30°．（2分）
∵AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，
∴∠DAC=

1

2

∠BAC=15°，∠ECA=

1

2

∠ACB=45°．
∴∠EFA=∠DAC+∠ECA=15°+45°=60°．（4分）

（2）FE=FD．（5分）
如图2，在AC上截取AG=AE，连接FG．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAF=∠GAF，
在△EAF和△GAF中
∵

AE=AG ∠EAF=∠FAG AF=AF

∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴FE=FG，∠EFA=∠GFA=60°．（6分）
∴∠GFC=180°-60°-60°=60°．
又∵∠DFC=∠EFA=60°，
∴∠DFC=∠GFC．（7分）
在△FDC和△FGC中
∵

∠DFC=∠GFC FC=FC ∠FCG=∠FCD

∴△FDC≌△FGC（ASA），
∴FD=FG．
∴FE=FD．（8分）

（3）（2）中的结论FE=FD仍然成立．（9分）
同（2）可得△EAF≌△HAF，
∴FE=FH，∠EFA=∠HFA．（10分）
又由（1）知∠FAC=

1

2

∠BAC，∠FCA=

1

2

∠ACB，
∴∠FAC+∠FCA=

1

2

（∠BAC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠B）=60°．
∴∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=120°．
∴∠EFA=∠HFA=180°-120°=60°．（11分）
同（2）可得△FDC≌△FHC，
∴FD=FH．
∴FE=FD．（12分）

点评：此题考查全等三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大．