Question

如图，已知AB、CD是⊙O的两条平行弦，过A点的⊙O的切线AE和DC的延长线交于E点，P为弧

CD

上一点，弦AP、BP与CD分别交于点M、N．
求证：CM：EM=NM：DM．

Answer 1

分析：由弦切角定理可知∠EAP=∠ABP，由AB∥CD，得∠ABP=∠ENP，因为∠AME=∠NMP，故△AEM∽△PNM，依据相交弦定理解答．

解答：证明：∵AE是⊙O的切线，
∴∠EAP=∠ABP．
∵AB∥CD，
∴∠ABP=∠ENP，∠AME=∠NMP．
∴△AEM∽△PNM．
∴AM•PM=MN•EN．
∵AM•PM=CM•DM，
∴MN•EM=CM•DM．
即CM：EM=NM：DM．

点评：此题考查的是相交弦定理，平行线的性质，相似三角形的性质及判定定理，弦切角定理的综合运用能力．