Question

已知，如图AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤DE=DC．其中正确结论有

1. A.
   2个
2. B.
   3个
3. C.
   4个
4. D.
   5个

Answer 1

C
分析：①AB是直径，易知∠AEB=90°，而∠ABE=45°，AB=AC，从而易求∠ABC和∠ACB，进而可求∠EBC；
②连接AD，由于AB=AC，∠ADB=90°，利用等腰三角形三线合一定理可知BD=CD；
③在Rt△BCE中，易求∠EBC和∠C，利用BE=tan67.5°•CE，可知BE≠2CE，利用∠BAC=45°，∠AEB=90°，易证△ABE是等腰直角三角形，从而可知AE≠2CE；
④由于∠ABE=45°，BAD=22.5°，易得劣弧AE=2劣弧BD，而劣弧BD=劣弧DE，从而易证劣弧AE=2劣弧DE；
⑤由圆内接四边形的外角等于它的内对角，得到一对角相等，再由AB=AC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠DEC=∠ACB，利用等角对等边即可得到DE=DC．
解答：解：①∵∠A=45°，AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=45°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，
∴∠EBC=67.5°-45°=22.5°，
此选项正确；
②连接AD，
∵AB=AC，AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD=CD，
此选项正确；
③∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
由①知∠EBC=22.5°，∠C=67.5°，
∴BE=tan67.5°•CE，
∴BE≠2CE，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠BAE=45°，
∴∠ABE=45°，
∴AE=BE，
∴AE≠2CE，
此选项错误；
④∵∠ABE=45°，BAD=22.5°，
∴劣弧AE=2劣弧BD，
∵劣弧BD=劣弧DE，
∴劣弧AE=2劣弧DE，
此选项正确．
⑤∵∠DEC为圆内接四边形ABDE的外角，
∴∠DEC=∠ABC，
又AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠DEC=∠ACB，
∴DE=DC，
本选项正确，
故选C
点评：本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是求出相应角的度数．