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【题目】如图,O是坐标原点,过点A(﹣10)的抛物线y=x2bx3x轴的另一个交点为B,与y轴交于点C,其顶点为D点.

1)求b的值以及点D的坐标;

2)求△BCD的面积;

3)连接BCBDCD,在x轴上是否存在点P,使得以ACP为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.

4)在抛物线上是否存在点Q,使得以ACQ为顶点且以AC为直角边的三角形为直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.

【答案】1b=2 D1,-4).(2)3;(3)存在,(00)(90).(4)(0-3)、(-)、(-10)、();

【解析】

1)把点A(﹣10)代入y=x2bx3中,根据待定系数法,可得函数解析式,根据配方法,可得顶点坐标;

2)先求得点B的坐标,然后由SBCD=SBDM+S梯形OCDM-SOBC,即可求得答案;

3)根据相似三角形的性质,分两种情况,得出AP的长,根据线段的和差,可得P点坐标.

4)利用两点间的距离公式和勾股定理求得答案;

解:(1)把A-10)代入y=x2-bx-3,得1+b-3=0
解得b=2

y=x2-2x-3=x-12-4
D1-4).

2

C0-3),
BA关于直线x=1对称,
∴点B30),
设直线x=1x轴于点M
OM=1BM=3-1=2DM=4

SBCD=SBDM+S梯形OCDM-SOBC=×2×4+×3+4×1-×3×3=3

3)如图,当y=0时,x2-2x-3=0
解得x1=-1x2=3,即A-10),B30),D1-4).

由勾股定理,得BC2=18CD2=1+1=2BD2=22+16=20BC2+CD2=BD2,∠BCD=90°
①当APC∽△DCB时,=,即,解得AP=1,即P00).
②当ACP∽△DCB时,,即,解得AP=10,即P′90).
综上所述:点P的坐标(00)(90).

4)设Q点坐标为(mm 2-2m-3

当∠QCA=90°,由AC2+CQ2=AQ2

得到:32+-12+m 2-2m-3+32+m 2=m+12+( m 2-2m-3)2
解得m=0

Q点坐标为(0-3)或(-

当∠QAC=90°,由AC2+AQ2=CQ2

得到:32+-12 +m+12+( m 2-2m-3)2=m 2-2m-3+32+m 2
解得m=-1
Q点坐标为(-10)或(

综上所述,Q点坐标为(0-3)、(-)、(-10)、();

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(1)求证:ED为⊙O的切线;

(2)如果⊙O的半径为,ED=2,延长EO交⊙OF,连接DF、AF,求ADF的面积.

【答案】(1)证明见解析;(2)

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(2)连接CD,根据直径所对的圆周角是直角,即可得 利用勾股定理即可求得的长,又由OEAB,证得根据相似三角形的对应边成比例,即可求得的长,然后利用三角函数的知识,求得的长,然后利用SADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF求得答案.

试题解析:(1)证明:连接OD

OEAB

∴∠COE=CADEOD=ODA

OA=OD,

∴∠OAD=ODA

∴∠COE=DOE

在△COE和△DOE中,

∴△COE≌△DOE(SAS),

EDOD

ED的切线;

(2)连接CD,交OEM

RtODE中,

OD=32,DE=2,

OEAB

∴△COE∽△CAB

AB=5,

AC是直径,

EFAB

SADF=S梯形ABEFS梯形DBEF

∴△ADF的面积为

型】解答
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