【题目】如图,O是坐标原点,过点A(﹣1,0)的抛物线y=x2﹣bx﹣3与x轴的另一个交点为B,与y轴交于点C,其顶点为D点.
(1)求b的值以及点D的坐标;
(2)求△BCD的面积;
(3)连接BC、BD、CD,在x轴上是否存在点P,使得以A、C、P为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
(4)在抛物线上是否存在点Q,使得以A、C、Q为顶点且以AC为直角边的三角形为直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)b=2 ;D(1,-4).(2)3;(3)存在,(0,0)(9,0).(4)(0,-3)、(,-)、(-1,0)、(,);
【解析】
(1)把点A(﹣1,0)代入y=x2﹣bx﹣3中,根据待定系数法,可得函数解析式,根据配方法,可得顶点坐标;
(2)先求得点B的坐标,然后由S△BCD=S△BDM+S梯形OCDM-S△OBC,即可求得答案;
(3)根据相似三角形的性质,分两种情况,得出AP的长,根据线段的和差,可得P点坐标.
(4)利用两点间的距离公式和勾股定理求得答案;
解:(1)把A(-1,0)代入y=x2-bx-3,得1+b-3=0,
解得b=2.
∴y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴D(1,-4).
(2)
∴C(0,-3),
点B与A关于直线x=1对称,
∴点B(3,0),
设直线x=1交x轴于点M,
∴OM=1,BM=3-1=2,DM=4,
∴S△BCD=S△BDM+S梯形OCDM-S△OBC=×2×4+×(3+4)×1-×3×3=3;
(3)如图,当y=0时,x2-2x-3=0,
解得x1=-1,x2=3,即A(-1,0),B(3,0),D(1,-4).
由勾股定理,得BC2=18,CD2=1+1=2,BD2=22+16=20,BC2+CD2=BD2,∠BCD=90°,
①当△APC∽△DCB时,=,即,解得AP=1,即P(0,0).
②当△ACP∽△DCB时,,即,解得AP=10,即P′(9,0).
综上所述:点P的坐标(0,0)(9,0).
(4)设Q点坐标为(m,m 2-2m-3)
当∠QCA=90°,由AC2+CQ2=AQ2
得到:32+(-1)2+(m 2-2m-3+3)2+m 2=(m+1)2+( m 2-2m-3)2,
解得m=0或;
则Q点坐标为(0,-3)或(,-)
当∠QAC=90°,由AC2+AQ2=CQ2
得到:32+(-1)2 +(m+1)2+( m 2-2m-3)2=(m 2-2m-3+3)2+m 2,
解得m=-1或;
则Q点坐标为(-1,0)或(,)
综上所述,Q点坐标为(0,-3)、(,-)、(-1,0)、(,);
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=﹣x与反比例函数y=的图象交于A,B两点(点A在点B左侧),已知A点的纵坐标是2;
(1)求反比例函数的表达式;
(2)根据图象直接写出﹣x>的解集;
(3)将直线l1:y=- x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y=在第二象限内交于点C,如果△ABC的面积为30,求平移后的直线l2的函数表达式.
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【题目】如图,平面直角坐标系中,正方形OABC的点A在轴上,点C在轴上,点B(4,4),点E在BC边上.将△ABE绕点A 顺时针旋转90°,得△AOF,连接EF交轴于点D.
(Ⅰ)若点E的坐标为(,).求
(1)线段EF的长;
(2)点D的坐标;
(Ⅱ)设点E(,),,试用含的式子表示,并求出使取得最大值时点E的坐标.
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【题目】如图所示,⊙O的半径为4,点A是⊙O上一点,直线l过点A;P是⊙O上的一个动点(不与点A重合),过点P作PB⊥l于点B,交⊙O于点E,直径PD延长线交直线l于点F,点A是的中点.
(1)求证:直线l是⊙O的切线;
(2)若PA=6,求PB的长.
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【题目】随着我国经济社会的发展,人民对于美好生活的追求越来越高.某社区为了了解家庭对于文化教育的消费情况,随机抽取部分家庭,对每户家庭的文化教育年消费金额进行问卷调查,根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表.
请你根据统计图表提供的信息,解答下列问题:
(1)本次被调查的家庭有 户,表中m= ;
(2)请说明本次调查数据的中位数落在哪一组?
(3)在扇形统计图中,D组所在扇形的圆心角为多少度?
(4)这个社区有2500户家庭,请你估计年文化教育消费在10000元以上的家庭有多少户?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点,以AB为边在第二象限内作正方形ABCD.
(1)求点A、B的坐标,并求边AB的长;
(2)求点C和点D的坐标;
(3)在x轴上找一点M,使△MDB的周长最小,请求出M点的坐标,并直接写出△MDB的周长最小值.
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【题目】一位运动员在距篮下4m处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离是2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系,求抛物线的解析式.
(2)该运动员身高1.8m,在这次跳投中,球在头顶上0.25m处出手,
问:球出手时,他距离地面的高度是多少?
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC为直径作⊙O,交AB于D,过点O作OE∥AB,交BC于E.
(1)求证:ED为⊙O的切线;
(2)如果⊙O的半径为,ED=2,延长EO交⊙O于F,连接DF、AF,求△ADF的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)首先连接OD,由OE∥AB,根据平行线与等腰三角形的性质,易证得≌ 即可得,则可证得为的切线;
(2)连接CD,根据直径所对的圆周角是直角,即可得 利用勾股定理即可求得的长,又由OE∥AB,证得根据相似三角形的对应边成比例,即可求得的长,然后利用三角函数的知识,求得与的长,然后利用S△ADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF求得答案.
试题解析:(1)证明:连接OD,
∵OE∥AB,
∴∠COE=∠CAD,∠EOD=∠ODA,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠COE=∠DOE,
在△COE和△DOE中,
∴△COE≌△DOE(SAS),
∴ED⊥OD,
∴ED是的切线;
(2)连接CD,交OE于M,
在Rt△ODE中,
∵OD=32,DE=2,
∵OE∥AB,
∴△COE∽△CAB,
∴AB=5,
∵AC是直径,
∵EF∥AB,
∴S△ADF=S梯形ABEFS梯形DBEF
∴△ADF的面积为
【题型】解答题
【结束】
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【题目】【题目】已知,抛物线y=ax2+ax+b(a≠0)与直线y=2x+m有一个公共点M(1,0),且a<b.
(1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示);
(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N,求△DMN的面积与a的关系式;
(3)a=﹣1时,直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G,点G、H关于原点对称,现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t>0),若线段GH与抛物线有两个不同的公共点,试求t的取值范围.
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