Question

如图①，点D为三角形ABC内部的一点，且BE，CE分别平分∠ABD，∠ACD，BE，CE相交于点E．
（1）求证：∠α+∠γ=2∠β．
（2）如图②，当点D在三角形ABC的外部时，∠α+∠γ=2∠β还成立吗？请说明理由．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）根据三角形的内角和定理得出∠α+∠γ=360°-2∠2-2∠5-2∠4-2∠6，2∠β=360°-2∠2-2∠5-2∠4-2∠6，即可得出答案；
（2）根据三角形的内角和定理得出∠A+

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∠ACD=∠E+

1

2

∠ABD，∠D+

1

2

∠ABD=∠E+

1

2

∠ACD，相加即可得出答案．

解答：
（1）证明：∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠α+∠γ=180°-∠5-∠6+180°-∠1-∠2-∠5-∠3-∠4-∠6=360°-2∠2-2∠5-2∠4-2∠6，
2∠β=360°-2∠2-2∠5-2∠4-2∠6，
∴∠α+∠γ=2∠β；

（2）解：∠α+∠γ=2∠β还成立，
理由是：∵在△AOC和△EBO中，∠A+

1

2

∠ACD=∠E+

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2

∠ABD，①
又∵在△ENC和△BND中，∠D+

1

2

∠ABD=∠E+

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2

∠ACD，②
∴①+②，得：2∠E=∠A+∠D，
∴∠α+∠γ=2∠β．

点评：本题考查了三角形内角和定理的应用，用了方程三角形，根据三角形的内角和定理进行推理是解此题的关键．