【题目】在现实生活中,我们会看到许多“标准”的矩形,如我们的课本封面、A4的打印纸等,其实这些矩形的长与宽之比都为:1,我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”,在“标准矩形”ABCD中,P为DC边上一定点,且CP=BC,如图所示.
(1)如图①,求证:BA=BP;
(2)如图②,点Q在DC上,且DQ=CP,若G为BC边上一动点,当△AGQ的周长最小时,求的值;
(3)如图③,已知AD=1,在(2)的条件下,连接AG并延长交DC的延长线于点F,连接BF,T为BF的中点,M、N分别为线段PF与AB上的动点,且始终保持PM=BN,请证明:△MNT的面积S为定值,并求出这个定值.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)定值为:.
【解析】
试题分析:(1)如图①中,设AD=BC=a,则AB=CD=a.通过计算得出AB=BP=a,由此即可证明;
(2)如图②中,作Q关于BC的对称点Q′,连接AQ′交BC于G,此时△AQG的周长最小.设AD=BC=QD=a,则AB=CD=a,可得CQ=CQ′=a﹣a,由CQ′∥AB,推出的值;
(3)如图③中,作TH∥AB交NM于H,交BC于K.由S△MNT=THCK+THBK=HT(KC+KB)=HTBC=HT,利用梯形的中位线定理求出HT即可解决问题;
试题解析:(1)证明:如图①中,设AD=BC=a,则AB=CD=a.
∵四边形ABCD是矩形,∴∠C=90°,∵PC=AD=BC=a,∴PB==a,∴BA=BP.
(2)解:如图②中,作Q关于BC的对称点Q′,连接AQ′交BC于G,此时△AQG的周长最小.
设AD=BC=QD=a,则AB=CD=a,∴CQ=CQ′=a﹣a,∵CQ′∥AB,∴ = = =.
(3)证明:如图③中,作TH∥AB交NM于H,交BC于K.
由(2)可知,AD=BC=1,AB=CD=,DP=CF=﹣1,∵S△MNT=THCK+THBK=HT(KC+KB)=HTBC=HT,∵TH∥AB∥FM,TF=TB,∴HM=HN,∴HT=(FM+BN),∵BN=PM,∴HT=(FM+PM)=PF=(1+﹣1)=,∴S△MNT=HT==定值.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,BC为⊙O的直径,点E为△ABC的内心,连接AE并延长交⊙O于D点,连接BD并延长至F,使得BD=DF,连接CF、BE.
(1)求证:DB=DE;
(2)求证:直线CF为⊙O的切线.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为了了解三中九年级840名学生的体重情况,从中抽取100名学生的体重进行分析.在这项调查中,样本是指( )
A.840名学生B.被抽取的100名学生
C.840名学生的体重D.被抽取的100名学生的体重
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在矩形中,,为边的中点.将绕点顺时针旋转,点的对应点为,点的对应点为,过点作交于点,连接、交于点.现有下列结论:①;②;③;④点为的外心.
其中正确结论的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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