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【题目】在现实生活中,我们会看到许多“标准”的矩形,如我们的课本封面、A4的打印纸等,其实这些矩形的长与宽之比都为:1,我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”,在“标准矩形”ABCD中,P为DC边上一定点,且CP=BC,如图所示.

(1)如图,求证:BA=BP;

(2)如图,点Q在DC上,且DQ=CP,若G为BC边上一动点,当AGQ的周长最小时,求的值;

(3)如图,已知AD=1,在(2)的条件下,连接AG并延长交DC的延长线于点F,连接BF,T为BF的中点,M、N分别为线段PF与AB上的动点,且始终保持PM=BN,请证明:MNT的面积S为定值,并求出这个定值.

【答案】(1)证明见解析;(2);(3)定值为:

【解析】

试题分析:(1)如图中,设AD=BC=a,则AB=CD=a.通过计算得出AB=BP=a,由此即可证明;

(2)如图中,作Q关于BC的对称点Q′,连接AQ′交BC于G,此时AQG的周长最小.设AD=BC=QD=a,则AB=CD=a,可得CQ=CQ′=a﹣a,由CQ′AB,推出的值

(3)如图中,作THAB交NM于H,交BC于K.由SMNT=THCK+THBK=HT(KC+KB)=HTBC=HT,利用梯形的中位线定理求出HT即可解决问题;

试题解析:(1)证明:如图中,设AD=BC=a,则AB=CD=a.

四边形ABCD是矩形,∴∠C=90°,PC=AD=BC=a,PB==a,BA=BP.

(2)解:如图中,作Q关于BC的对称点Q′,连接AQ′交BC于G,此时AQG的周长最小.

设AD=BC=QD=a,则AB=CD=a,CQ=CQ′=a﹣a,CQ′AB, = = =

(3)证明:如图中,作THAB交NM于H,交BC于K.

由(2)可知,AD=BC=1,AB=CD=,DP=CF=﹣1,SMNT=THCK+THBK=HT(KC+KB)=HTBC=HT,THABFM,TF=TB,HM=HN,HT=(FM+BN),BN=PM,HT=(FM+PM)=PF=(1+﹣1)=SMNT=HT==定值.

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