Question

19．如图，已知正方形ABCD边长为2，AF平分∠BAC，求OF的长．

Answer 1

分析 作FG⊥AC于G，设GF=x，根据题意得出BF=x，CF=2-x，CG=GF=x，OG=$\sqrt{2}$-x，又由CF=$\sqrt{2}$x，得出方程$\sqrt{2}$x=2-x，解方程求出x，再根据勾股定理即可求出OF．

解答 解：作FG⊥AC于G，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，∠BAC=∠BCA=$\frac{1}{2}$×90°=45°，AC⊥BD，AB=BC=2，
∴AC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴OC=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$，
∵AF平分∠BAC，
∴BF=GF，
设GF=x，
则BF=x，CF=2-x，CG=GF=x，OG=$\sqrt{2}$-x，
又∵CF=$\sqrt{2}$x，
∴$\sqrt{2}$x=2-x，
解得：x=2$\sqrt{2}$-2，
∴GF=2$\sqrt{2}$-2，OG=2-$\sqrt{2}$，
在Rt△OGF中，根据勾股定理得：
OF²=（2$\sqrt{2}$-2）²+（2-$\sqrt{2}$）²=18-12$\sqrt{2}$，
∴OF=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了正方形的性质、角平分线的性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质；设出未知数，根据题意列出方程是解决问题的关键．