Question

14．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O，△CDE是等边三角形，连接AE交BD于点F．求证：
（1）AF=2OF．
（2）FE=FB．

Answer 1

分析 （1）先根据正方形和等边三角形的性质证明△ADE是等腰三角形，求出∠DAE=∠DEA，再求出∠OAF=30°，在直角三角形OAF中即可得出结论；
（2）连接BE，证明∠FBE=∠AEB，即可得出结论．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，DC=DE，∠CDE=∠DEC=60°，∠DAC=45°，AC⊥BD，
∴AD=DE，∠ADE=90°+60°=150°，∠AOD=90°，
∴∠DAE=∠DEA=$\frac{1}{2}$（180°-150°）=15°，∠OAF=45°-15°=30°，
∴AF=2OF；
（2）连接BE，如图所示：
由（1）：∠DEA=15°，∠OAF=30°，
同理得：∠CEB=15°，∠FBE=30°，
∴∠AEB=60°-15°-15°=30°，
∴∠FBE=∠AEB，
∴FE=FB．

点评 本题考查了正方形的性质和等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及等腰三角形的判定方法；根据正方形和等边三角形的性质弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．