Question

【题目】如图1，抛物线y2与x轴相交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C，对称轴与x轴相交于点H，与AC相交于点T．

（1）点P是线段AC上方抛物线上一点，过点P作PQ∥AC交抛物线的对称轴于点Q，当△AQH面积最大时，点M、N在y轴上（点M在点N的上方），MN，点G在直线AC上，求PM+NGGA的最小值．

（2）点E为BC中点，EF⊥x轴于F，连接EH，将△EFH沿EH翻折得△EF'H，如图所示2，再将△EF'H沿直线BC平移，记平移中的△EF'H为△E'F″H'，在平移过程中，直线E'H'与x轴交于点R，则是否存在这样的点R，使得△RF'H'为等腰三角形？若存在，求出R点坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点R的坐标为R(﹣4，0)或R(5，0)

【解析】

（1）由抛物线解析式可求，对称轴x＝2，过P点作PT′∥QT，由PQ∥AC可知，四边形QTT′P是平行四边形，QT＝PT’，因为HT为定值，所以PT′最大时，△AQH面积最大，由此构建二次函数，求出点P坐标，过点G作GE⊥x轴于E，作x轴关于直线AC的对称直线l，E的对称点为E′，将PM沿y轴向下平移个单位至P′N，作点P′关于y轴的对称点P″，过P″作P″S⊥l于S，则有PM+NGGA＝P″N+NG+GE′≥P″S，求出P″S即可；

（2）先求得点E，F，F′，H′，R的坐标，根据△RF'H'为等腰三角形，分三种情况分别求解即可．

（1）如图1，抛物线y2与x轴相交于A、B两点（点A在点B的右侧），

∴A（6，0）；B（﹣2，0）；C（0，2），

∴直线AC的解析式为：，

∵tan∠CAO，

∴∠CAO＝30°

过P点作PT′∥QT，交AC于T′，

设P，T′，

则PT′m+2（m+2）（m﹣3）2

∵PQ∥AC，

∴四边形QTT′P是平行四边形，

∴QT＝PT′，

当△AQH面积最大时，HQ最大，即PT′最大，

即m＝3时，△AQH面积最大，

此时P点坐标为．

过点G作GE⊥x轴于E，作x轴关于直线AC的对称直线l，E的对称点为E′，将PM沿y轴向下平移个单位至P′N，作点P′关于y轴的对称点P″，过P″作P″S⊥l于S，则有

PM+NGGA＝P″N+NG+GE′≥P″S

∵P′（3，），P″与P′关于y轴对称

∴P″（﹣3，），

∵∠CAO＝30°，直线l与x轴关于直线AC对称

∴∠CAS＝∠CAO＝30°，

∴∠SAO＝60°

设直线l的解析式为y＝kx+b，则k＝﹣tan∠SAO＝﹣tan60°

∴yx+b，将A（6，0）代入得：06+b，解得：b＝6，

∴直线l的解析式为yx+6，

∵P″S⊥l

∴∠P″SA＝90°

过点P″作P″K∥x轴交AS于K，则K（，），

∴P″K（﹣3），

∵P″K∥x轴

∴∠P″KS＝∠SAO＝60°

∵sin∠SAO

∴P″S＝P″Ksin∠SAOsin60°，′

∴PM+NGGA的最小值；

（2）∵y2（x﹣2）2

∴抛物线对称轴为直线x＝2，

∴H（2，0），

由（1）知：A（6，0）；B（﹣2，0）；C（0，2），

∵点E为BC中点，EF⊥x轴于F，

∴E（﹣1，），F（﹣1，0）

∴F′（，）

∵

∴△EF′H沿直线BC平移，各个点横纵坐标变化为，设△EF′H沿直线BC平移后的△E′F″H′各顶点坐标分别为E′（﹣1+t，t），H′（2+t，t）

则直线E′H′解析式为yxt，令y＝0，则x＝2+4t

∴R（2+4t，0），

∴H′R2＝[（2+t）﹣（2+4t）]2+（t﹣0）2＝12t2，

H′F′2＝[2+t）]2+（t）2＝4t2﹣6t+9，

F′R216t2+12t+9，

∵△RF'H'为等腰三角形，

∴H′R2＝H′F′2或H′F′2＝F′R2或F′R2＝H′R2，

①当H′R2＝H′F′2时，则12t2＝4t2﹣6t+9，解得：t1，t2

此时，R（﹣4，0）或R（5，0）

②当H′F′2＝F′R2时，则4t2﹣6t+9＝16t2+12t+9，解得：t＝0或，

t＝0不符合题意，t与①重复

③当F′R2＝H′R2时，16t2+12t+9＝12t2，解得：t1＝t2，与①重复

综上所述，点R的坐标为R（﹣4，0）或R（5，0）．