Question

17．如图，AC=BC，∠CAB=∠CBA=45°，D为AB边上一个动点，CE=CD，∠CDE=∠CED=45°．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）求证：∠ABE是定值．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和定理求出∠ACB=∠DCE=90°，求出∠ACD=∠BCE，根据SAS推出即可；
（2）根据全等三角形的性质求出∠CBE=∠A=45°，即可求出∠ABE=90°．

解答 证明：（1）∵∠CAB=∠CBA=45°，∠CDE=∠CED=45°，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE=90°-∠DCB，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）∵△ACD≌△BCE，∠A=45°，
∴∠CBE=∠A=45°，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=45°+45°=90°，
即∠ABE是一个定值，是90°．

点评 本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定定理和性质定理的应用，解此题的关键是求出△ACD≌△BCE，难度适中．