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将两块大小一样含30°角的直角三角板,叠放在一起,使得它们的斜边AB重合,直角边不重合,已知AB=8,BC=AD=4,AC与BD相交于点E,连接CD.
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(1)填空:如图1,AC=
 
,BD=
 
;四边形ABCD是
 
梯形;
(2)请写出图1中所有的相似三角形;(不含全等三角形)
(3)如图2,若以AB所在直线为轴,过点A垂直于AB的直线为轴建立如图2的平面直角坐标系,保持△ABD不动,将△ABC向x轴的正方向平移到△FGH的位置,FH与BD相交于点P,设AF=t,△FBP面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围.
分析:(1)根据勾股定理可得AC=BD=
82-42
=4
3
;易知△ADC≌△BCD,利用四边形内角和是360°可得∠CDB=∠DCA=30°∵∠CAB=30°∴DC∥AB,∵AD=BC∴四边形ABCD是等腰梯形;
(2)图中的三角形分为两类:30°,30°,120°;30°,60°,90度.按此找相似三角形即可;
(3)过P作出△FBP的高.△FBP面积应等于FB×PK÷2,易得FB=AB-AF=8-k;则KB等于FB的一半,利用30°的正切值可求得FK的值.注意用t表示的线段应大于0.
解答:解:(1)4
3
,4
3
,等腰;

(2)共有9对相似三角形.
①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似,
分别是:△DCE∽△ABE,△DCE∽△ACD,△DCE∽△BDC,△ABE∽△ACD,△ABE∽△BDC;(有5对)
②△ABD∽△EAD,△ABD∽△EBC;(有2对)
③△BAC∽△EAD,△BAC∽△EBC;(有2对)
所以,一共有9对相似三角形.

(3)由题意知,FP∥AE,
∴∠1=∠PFB,
又∵∠1=∠2=30°,
∴∠PFB=∠2=30°,精英家教网
∴FP=BP
过点P作PK⊥FB于点K,则FK=BK=
1
2
FB.
∵AF=t,AB=8,
∴FB=8-t,BK=
1
2
(8-t).
在Rt△BPK中,PK=BK•tan∠2=
1
2
(8-t)tan30°=
3
6
(8-t).
∴△FBP的面积S=
1
2
•FB•PK=
1
2
(8-t)•
3
6
(8-t),
∴S与t之间的函数关系式为:
S=
3
12
(8-t)2,或S=
3
12
t2-
4
3
3
t+
16
3
3

t的取值范围为:0≤t<8.
点评:“有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿和记忆;有效的数学学习过程应引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动,从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略”.此题正是在常见的三角板的操作变形中,将几何中的平移知识,代数中的函数知识有机地进行结合,要求学生抓住问题中的内在联系进行探究.
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科目:初中数学 来源: 题型:

将两块大小一样含30°角的直角三角板,叠放在一起,使得它们的斜边AB重合,直角边不重合,已知AB=8,B精英家教网C=AD=4,AC与BD相交于点E,连接CD.
(1)填空:如图,AC=
 
,BD=
 
;四边形ABCD是
 
梯形.
(2)请写出图中所有的相似三角形(不含全等三角形).

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如图,在平面直角坐标系中,将两块大小一样含30°角的直角三角板,叠放在一起,使得它们的斜边重合于OA,直角边不重合,已知A(6,0),AB=OC,AC与OB交于点D,连接BC.
(1)填空,如图1,D点坐标是
 

(2)若将△OCA饶OA的中点P逆时针转90°到△O1C1A1的位置,则C1的坐标为
 

(3)在(2)的条件下,求△OAB与△O1C1A1的重叠部分的面积.
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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网将两块大小一样含30°角的直角三角板如图叠放在一起,使它们的斜边AB重合,直角边不重合,当AB=8cm时,则两个直角顶点C、D的距离为
 
cm.

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科目:初中数学 来源: 题型:

将两块大小一样含30°角的直角三角板,按如图①与图②方式叠放在一起,使得它们的斜边AB重合,直角边不重合,连接CD.
(1)填空:
图①中CD与AB
 
(填“平行”或“不平行”);
图②中CD与AB
 
(填“垂直”或“不垂直”).并任选一种情况证明.
(2)请写出图①中所有的等腰三角形.
(3)若把两块三角板按如图③的方式摆放.已知BC=A1D=4,试求△AB1C的面积?
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