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    10．（1）问题发现：
    如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边CD、AD上的动点，连接BE、CF交于点P，若始终保持CE=DF．
    ①线段BE和CF的关系是 BE=CF，且BE⊥CF，说明理由；
    ②当点E从点C运动到点D时，求点P运动的路径长；
    （2）拓展探究：
    如图2，在边长为6的等边三角形ABC中，点E、F分别是边AC、BC上的动点，连接AF、BE，交于点P，若始终保持AE=CF，当点E从点A运动到点C时，直接写出点P运动的路径长是 $\frac{4\sqrt{3}}{3}$π．

    分析 （1）由正方形的性质，得出结论，直接判断出△BCE≌△CDF，再利用互余得出∠CPE=90°即可；
    （2）由题意判断出点P的运动轨迹，然后用弧长公式计算即可；
    （3）由题意判定出点P的运动轨迹是以点O为圆心，OA为半径的三分之一圆，计算即可．

    解答 解：（1）①BE=CF，BE⊥CF，
    理由：
    ∵四边形ABCD是正方形，
    ∴BC=CD，∠BCE=∠CDF，
    在△BCE和△CDF中，
    $\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCE=∠CDF}\\{CF=DF}\end{array}\right.$，
    ∴△BCE≌△CDF，
    ∴BE=CF，∠CBE=∠DCF，
    ∵∠CBE+∠BEC=90°，
    ∴∠DCF+∠BEC=90°，
    ∴∠CPE=90°，
    ∴BE⊥CF，
    即：BE=CF，且BE⊥CF；
    ②如图1，

    由①知，BE⊥CF，
    ∴在点E从点C到点D的过程中，始终有∠BPC=90°，
    ∵BC=4，
    ∴点P运动得路径是以BC为直径的$\frac{1}{4}$圆弧上，
    ∴点P的运动路径长为$\frac{1}{4}$×2π×2=π；
    （3）如图2，

    点P在以O为圆心，OA为半径的$\frac{1}{3}$圆弧上，
    当点E运动到AC中点时，点F也运动到BC的中点，此时点P经过$\widehat{AB}$的中点，
    此时△ABP为等腰三角形，∠ABP=∠BAP=30°，
    ∴∠AOB=120°，
    ∵AB=6，
    ∴OA=2$\sqrt{3}$，
    ∴点P的路径为$\frac{120π×2\sqrt{3}}{180}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$π，

    点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，动点问题，解本题的关键是确定出点P的运动轨迹，也是本题的难点．

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